Estimando o número de bolas selecionando sucessivamente uma bola e marcando-a

Vamos dizer que tenho N bolas em um saco. No meu primeiro sorteio, marquei a bola e a recoloquei na sacola. No meu segundo sorteio, se eu pegar uma bola marcada, eu a coloco na bolsa. Se, no entanto, eu pegar uma bola não marcada, eu a marca e a devolvo à bolsa. Eu continuo isso para qualquer número de empates. Qual é o número esperado de bolas na bolsa, dado um número de empates e o histórico marcado / não marcado dos empates?

— ashemon
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Possivelmente relacionado: você analisou o método de captura e recuperação para estimar a abundância da população? en.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture

— a.arfe

"Número esperado" não pode ser entendida no seu sentido técnico usual de um valor esperado, porque não há distribuição de probabilidade para

N

$N$ . Parece que você está pedindo um estimador de

N

$N$ .

— whuber

Aqui está uma ideia. Deixe ser um subconjunto finito dos números naturais que servirão como os valores possíveis para . Suponha que temos uma distribuição prévia sobre . Fixar um não-aleatória inteiro positivo . Seja a variável aleatória que denota o número de vezes que marcamos uma bola em draws da sacola. O objetivo é encontrar . Isso será função de anterior. $\mathcal{I}$ $N$ $\mathcal{I}$ $M$ $k$ $M$ $E(N|k)$ $M,k$

Pela regra de Bayes, temos

\begin{aligned} P (N = j | k) & = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{P (k)} \\ = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{\sum_{r \in Eu} P (k | N = r) P (N = r)} \end{aligned}

$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$

A computação é um cálculo conhecido, que é uma variante do problema dos coletores de cupons. é a probabilidade de observar cupons distintos nos sorteios quando houver cupons no total. Veja aqui um argumento para $P(k|N=j)$ $P(k|N=j)$ $k$ $M$ $j$

P (k | N = j) = \frac{(\binom{j}{k}) k! S (M, k)}{j^{M}}

$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$

onde denota um número stirling do segundo tipo . Podemos então calcular $S$

E (N | k) = \sum_{j \in Eu} j P (N = j | k)

$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$

Abaixo estão alguns cálculos para vários e . Em cada caso, usamos um uniforme anterior em $k$ $M$ $[k,10k]$

\begin{array}{ccc} M & k & E (N) \\ 10 & 5 & 7,99 \\ 15 & 5 & 5,60 \\ 15 & 10 & 23,69 \\ 30 & 15 & 20,00 \\ 30 & 20 & 39,53 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$

— user35546
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