Gerando amostras aleatórias a partir de uma distribuição customizada

Estou tentando gerar amostras aleatórias de um pdf personalizado usando R. Meu pdf é:

f_{X} (x) = \frac{3}{2} (1 - x^{2}), 0 0 \leq x \leq 1

$f_{X}(x) = \frac{3}{2} (1-x^2), 0 \le x \le 1$

Gerei amostras uniformes e tentei transformá-lo em minha distribuição personalizada. Eu fiz isso encontrando o cdf da minha distribuição ( $F_{X}(x)$ ) e configurando-o para a amostra uniforme ( $u$ ) e resolvendo para $x$ .

F_{X} (x) = Pr [X \leq x] = \int_{0 0}^{x} \frac{3}{2} (1 - y^{2}) d y = \frac{3}{2} (x - \frac{x^{3}}{3})

$F_{X}(x) = \Pr[X \le x] = \int_{0}^{x} \frac{3}{2} (1-y^2) dy = \frac{3}{2} (x - \frac{x^3}{3})$

Para gerar uma amostra aleatória com a distribuição acima, obtenha uma amostra uniforme e resolva $u \in[0,1]$ $x$ em

\frac{3}{2} (x - \frac{x^{3}}{3}) = você

$\frac{3}{2} (x - \frac{x^3}{3}) = u$

Eu o implementei Re não recebo a distribuição esperada. Alguém pode apontar a falha no meu entendimento?

nsamples <- 1000;
x <- runif(nsamples);

f <- function(x, u) { 
  return(3/2*(x-x^3/3) - u);
}

z <- c();
for (i in 1:nsamples) {
  # find the root within (0,1) 
  r <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root;
  z <- c(z, r);
}

r sampling uniform

— Anand
fonte

Deve ser um erro de codificação. Como não uso R, não posso dizer exatamente qual é o erro - mas apenas codifiquei sua solução (tomando o cuidado de criar a raiz do meio do polinômio cúbico, que sempre fica entre 0 e 1) e Eu obtenho um bom acordo entre as amostras e a distribuição esperada. Poderia ser um problema com o seu localizador de raiz? O que há de errado com as amostras que você está recebendo?

— jpillow

Eu tentei o seu código (que não é muito eficiente, a propósito) e recebo a distribuição esperada.

— Aniko

@jpillow e @Aniko Meu erro. Quando eu usei nsamples <- 1e6, foi uma boa partida.

— Anand

@Anand Uma maneira é observar que

, permitindo o cálculo direto de

em termos de

x = 2 \sin (\arcsin (u) / 3)

$x = 2\sin(\arcsin(u)/3)$

x

$x$

u

$u$

— whuber

@Anand en.wikipedia.org/wiki/…

— whuber

Parece que você descobriu que seu código funciona, mas a @Aniko apontou que você poderia melhorar sua eficiência. Seu maior ganho de velocidade provavelmente viria da pré-alocação de memória para zque você não a cresça dentro de um loop. Algo como z <- rep(NA, nsamples)deve fazer o truque. Você pode obter um pequeno ganho de velocidade usando vapply()(que especifica o tipo de variável retornado) em vez de um loop explícito (há uma ótima pergunta SO na família de aplicativos).

> nsamples <- 1E5
> x <- runif(nsamples)
> f <- function(x, u) 1.5 * (x - (x^3) / 3) - u
> z <- c()
> 
> # original version
> system.time({
+ for (i in 1:nsamples) {
+   # find the root within (0,1) 
+   r <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root
+   z <- c(z, r)
+ }
+ })
   user  system elapsed 
  49.88    0.00   50.54 
> 
> # original version with pre-allocation
> z.pre <- rep(NA, nsamples)
> system.time({
+ for (i in 1:nsamples) {
+   # find the root within (0,1) 
+   z.pre[i] <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root
+   }
+ })
   user  system elapsed 
   7.55    0.01    7.78 
> 
> 
> 
> # my version with sapply
> my.uniroot <- function(x) uniroot(f, c(0, 1), tol = 0.0001, u = x)$root
> system.time({
+   r <- vapply(x, my.uniroot, numeric(1))
+ })
   user  system elapsed 
   6.61    0.02    6.74 
> 
> # same results
> head(z)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738
> head(z.pre)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738
> head(r)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738

E você não precisa do ;final de cada linha (você é um convertido do MATLAB?).

— Richard Herron
fonte

Obrigado pela sua resposta detalhada e por apontar vapply. Eu tenho codificado C/C++há muito tempo e essa é a razão da ;aflição!

— Anand

uniroot

10^{7}

$10^7$