Pergunta sobre a suposição de normalidade do teste t

Para testes t, de acordo com a maioria dos textos, há uma suposição de que os dados da população são normalmente distribuídos. Não vejo por que isso é. Um teste t não exige apenas que a distribuição amostral da média amostral seja normalmente distribuída, e não a população?

Se o teste t exigir apenas normalidade na distribuição amostral, a população pode se parecer com qualquer distribuição, certo? Contanto que haja um tamanho de amostra razoável. Não é isso que afirma o teorema do limite central?

(Estou me referindo aqui aos testes t de uma amostra ou amostras independentes)

Para testes t, de acordo com a maioria dos textos, há uma suposição de que os dados da população são normalmente distribuídos. Não vejo por que isso é. Um teste t não exige apenas que a distribuição amostral da média amostral seja normalmente distribuída, e não a população?

A estatística t consiste em uma razão de duas quantidades, ambas variáveis ​​aleatórias. Não consiste apenas de um numerador.

Para que a estatística t tenha a distribuição t, você não precisa apenas que a média da amostra tenha uma distribuição normal. Você também precisa:

• que no denominador seja tal que *s 2 / σ 2 ~ χ 2 $s$$s^2/\sigma^2 \sim \chi^2_d$

• que o numerador e o denominador sejam independentes.

* (o valor de depende de qual teste - na amostra temos )t d = n - $d$$t$$d=n-1$

Para que essas três coisas sejam realmente verdadeiras, é necessário que os dados originais sejam normalmente distribuídos.

Se o teste t exigir apenas normalidade na distribuição amostral, a população pode se parecer com qualquer distribuição, certo?

Vamos considerar o iid como dado por um momento. Para que o CLT mantenha a população, deve atender às condições ... - a população deve ter uma distribuição à qual o CLT se aplica. Portanto, não, pois existem distribuições populacionais às quais o CLT não se aplica.

Contanto que haja um tamanho de amostra razoável. Não é isso que afirma o teorema do limite central?

Não, o CLT na verdade não diz uma palavra sobre "tamanho razoável da amostra".

Na verdade, nada diz sobre o que acontece em qualquer tamanho finito de amostra.

Estou pensando em uma distribuição específica agora. É a que o CLT certamente se aplica. Mas em , a distribuição da média da amostra é claramente não normal. No entanto, duvido que qualquer amostra da história da humanidade tenha tido tantos valores nela. Então - fora da tautologia - o que significa 'razoável '?$n=10^{15}$$n$

Então você tem dois problemas:

R. O efeito que as pessoas geralmente atribuem ao CLT - a abordagem cada vez mais próxima da normalidade das distribuições das médias das amostras em tamanhos de amostra pequenos / moderados - não é realmente declarado no CLT **.

B. "Algo não tão distante do normal no numerador" não é suficiente para obter a estatística com uma distribuição t

** (Algo como o teorema de Berry-Esseen deixa você mais parecido com o que as pessoas estão vendo quando observam o efeito do aumento do tamanho da amostra na distribuição das médias das amostras.)

O teorema de CLT e Slutsky fornece a você (contanto que todas as suposições deles) que, como , a distribuição da estatística t se aproxima do padrão normal. Não diz se um finito pode ser suficiente para algum propósito.$n\to\infty$$n$