Como calcular os intervalos de previsão do LOESS?

Eu tenho alguns dados que eu ajustei usando um modelo LOESS em R, me dando o seguinte:

Os dados têm um preditor e uma resposta e são heterocedásticos.

Eu também adicionei intervalos de confiança. O problema é que os intervalos são intervalos de confiança para a linha, enquanto eu estou interessado nos intervalos de previsão. Por exemplo, o painel inferior é mais variável que o painel superior, mas isso não é capturado nos intervalos.

Esta pergunta está um pouco relacionada: Entendendo a faixa de confiança de uma regressão polinomial , especialmente a resposta de @AndyW, no entanto, em seu exemplo, ele usa o interval="predict"argumento relativamente direto que existe predict.lm, mas está ausente predict.loess.

Então, eu tenho duas perguntas muito relacionadas:

1. Como obtenho os intervalos de previsão no sentido do LOESS?
2. Como posso prever valores que capturam esse intervalo, ou seja, gerar um monte de números aleatórios que eventualmente se parecerão com os dados originais?

É possível que eu não precise do LOESS e use outra coisa, mas não estou familiarizado com minhas opções. Basicamente, ele deve se ajustar à linha usando regressão local ou regressão linear múltipla, fornecendo estimativas de erro para as linhas e também variações diferentes para variáveis ​​explicativas diferentes, para que eu possa prever a distribuição da variável de resposta (y) em certos valores x .

Não sei como fazer bandas de previsão com a loessfunção original , mas há uma função loess.sdno msirpacote que faz exatamente isso! Quase literalmente da msirdocumentação:

library(msir)
data(cars)
# Calculates and plots a 1.96 * SD prediction band, that is,
# a 95% prediction band
l <- loess.sd(cars, nsigma = 1.96)
plot(cars, main = "loess.sd(cars)", col="red", pch=19)
lines(l$x, l$y)
lines(l$x, l$upper, lty=2)
lines(l$x, l$lower, lty=2)

Sua segunda pergunta é um pouco mais complicada, uma vez loess.sdque não vem com uma função de previsão, mas você pode agrupá-la interpolando linearmente os meios e SDs previstos dos quais você obtém loess.sd(usando approx). Estes podem, por sua vez, ser usados ​​para simular dados usando uma distribuição normal com os meios e SDs previstos:

# Simulate x data uniformly and y data acording to the loess fit
sim_x <- runif(100, min(cars[,1]), max(cars[,1]))
pred_mean <- approx(l$x, l$y, xout = sim_x)$y
pred_sd <- approx(l$x, l$sd, xout = sim_x)$y
sim_y <- rnorm(100, pred_mean, pred_sd) 

# Plots 95% prediction bands with simulated data 
plot(cars, main = "loess.sd(cars)", col="red", pch=19)
points(sim_x, sim_y, col="blue")
lines(l$x, l$y)
lines(l$x, l$upper, lty=2)
lines(l$x, l$lower, lty=2)