Como calcular os pesos dos critérios de Fisher?

Estou estudando reconhecimento de padrões e aprendizado de máquina e me deparei com a seguinte pergunta.

Considere um problema de classificação de duas classes com igual probabilidade de classe anterior

$$P(D_1)=P(D_2)= \frac{1}{2}$$

e a distribuição de instâncias em cada classe dada por

$$p(x|D_1)= {\cal N} \left( \begin{bmatrix} 0 \\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right),$$

$$p(x|D_2)= {\cal N} \left( \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right).$$

Como calcular os pesos dos critérios de Fisher?

Atualização 2: o peso calculado fornecido pelo meu livro é: .$W=\begin{bmatrix} \frac{-4}{3} \\ \frac{-2}{9} \end{bmatrix}$

Atualização 3: Como sugerido por @xeon, entendo que devo determinar a linha de projeção para o discriminante de Fisher.

Atualização 4: Seja $W$ a direção da linha de projeção, o método discriminante linear de Fisher descobre que o melhor $W$ é aquele para o qual a função de critério é maximizada. O desafio restante é como podemos obter numericamente o vetor $W$ ?

Seguindo o artigo ao qual você vinculou (Mika et al., 1999) , precisamos encontrar que maximiza o chamado quociente generalizado de Rayleigh ,$\mathbf{w}$

$$\frac{\mathbf{w}^\top \mathbf{S}_B \mathbf{w}}{\mathbf{w}^\top \mathbf{S}_W \mathbf{w}},$$

onde para médias e covariâncias C 1 , C 2 ,$\mathbf{m}_1, \mathbf{m}_2$$\mathbf{C}_1, \mathbf{C}_2$

$$\begin{align} \mathbf{S}_B &= (\mathbf{m}_1 - \mathbf{m}_2)(\mathbf{m}_1 - \mathbf{m}_2)^\top, & \mathbf{S}_W &= \mathbf{C}_1 + \mathbf{C}_2. \end{align}$$

A solução pode ser encontrada resolvendo o problema generalizado de autovalores calculando primeiro os autovalores λ resolvendo det ( S B - λ S W ) = 0 e depois resolvendo o vetor próprio w . No seu caso, S B - λ S W = ( 16 - 3 λ 16 16 16 - 2 λ )

$$\begin{align} \mathbf{S}_B\mathbf{w} = \lambda \mathbf{S}_W\mathbf{w}, \end{align}$$ $\lambda$ $$\begin{align} \det(\mathbf{S}_B - \lambda \mathbf{S}_W) = 0 \end{align}$$ $\mathbf{w}$ $$\mathbf{S}_B - \lambda \mathbf{S}_W = \begin{pmatrix}16 - 3\lambda & 16 \\ 16 & 16 - 2\lambda\end{pmatrix}.$$ O determinante dessa matriz 2x2 pode ser calculado manualmente.

O vetor próprio com o maior valor próprio maximiza o quociente de Rayleigh. Em vez de fazer os cálculos manualmente, resolvi o problema de autovalor generalizado no Python usando scipy.linalg.eige obtive que é diferente da solução encontrada em seu livro. Abaixo, plotei o hiperplano ideal do vetor de peso que encontrei (preto) e o hiperplano do vetor de peso encontrado em seu livro (vermelho).

$$w_1 \approx 0.5547, w_2 \approx 0.8321,$$

$\hskip1in$

$\mathbf{SOLUTION 1:}$

Seguindo Duda et al. (Pattern CLassification), que tem uma solução alternativa para @lucas e, nesse caso, facilita muito a computação da solução manualmente. (Espero que esta solução alternativa ajude !! :))

Na LDA de duas classes, o objetivo é:

$\frac{w^TS_Bw}{w^TS_Ww}$

$S_B = (m_1-m_2)(m_1-m_2)^T$$S_W = S_1 + S_2$$S_1,S_2$$m_1,m_2$

A solução desse quociente de raleigh generalizado é um probem de valor próprio de generalização.

$S_Bw = \lambda S_Ww \rightarrow {S_W}^{-1}S_Bw = \lambda w$

$S_B$$m_1-m_2$$w \propto {S_W}^{-1}(m1-m2)$

$w$

${S_W}^{-1}(m1-m2) = {(S_1 + S_2)}^{-1}(m1 - m2) = {(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})}^{-1}(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix} ) ={(\begin{bmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix})}(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} -1.3333 \\ -2.0000 \end{bmatrix} \propto \begin{bmatrix} 0.5547 \\ 0.8321 \end{bmatrix}$

Ref: Classificação de Padrões por Duda, Hart, Stork

$\mathbf{SOLUTION 2:}$

$S_Bw = \lambda S_Ww$

$determinant(S_B - \lambda S_W)$$S_Bw = \lambda S_Ww$$\lambda_1,\lambda_2, ..., \lambda_n,$ as roots of the polynomial. Now substitute $\lambda = \lambda_i, i \in \{1,2,..,n\}$ and get the corresponding eigen vector as solution to the linear system of equations $S_Bw_i = \lambda_i S_Ww_i$. By doing this for each i you can get a set of vectors $\{w_i\}_{i=1}^{n}$ and it is a set of eigen vectors as solutions.

$determinant(S_B - \lambda S_W) = \begin{bmatrix} 16 - 3\lambda & 16 \\ 16 & 16 - 2\lambda \end{bmatrix} =6\lambda^2 - 80\lambda$, So eigen values are roots to polynomial $6\lambda^2 - 80\lambda$.

So $\lambda=$ 0 and 40/3 are the two solutions. For LDA, eigen vector corresponding to highest eigen value is the solution.

Solution to system of equation $(S_B - \lambda_i S_W)w_i = 0$ and $\lambda_i = 40/3$

which turns out to be $\begin{bmatrix} 16 - 3\lambda & 16 \\ 16 & 16 - 2\lambda \end{bmatrix}w_i \propto \begin{bmatrix} -72 & 48 \\ 48 & -32 \end{bmatrix}w_i = 0$

Solution to the above system of equation is $\begin{bmatrix} -0.5547 \\ -0.8321 \end{bmatrix} \propto \begin{bmatrix} 0.5547 \\ 0.8321 \end{bmatrix}$ which is same as previous solution.

Alternatively, we can say that $\begin{bmatrix} 0.5547 \\ 0.8321 \end{bmatrix}$ lies in the null space of $\begin{bmatrix} -72 & 48 \\ 48 & -32 \end{bmatrix}$.

For two class LDA, eigen vector with highest eigen value is the solution. In general, for C class LDA, the first C - 1 eigen vectors to highest C - 1 eigen values constitute the solution.

This video explains how to compute eigen vectors for simple eigen value problem. ( https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/eigen_everything/v/linear-algebra-finding-eigenvectors-and-eigenspaces-example )

Following is an example. http://www.sosmath.com/matrix/eigen2/eigen2.html

Multi-class LDA: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_discriminant_analysis#Multiclass_LDA

Calculating Null Space of a matrix: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/null_column_space/v/null-space-2-calculating-the-null-space-of-a-matrix