PDF de uma soma de variáveis dependentes

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Esta é uma continuação direta da minha pergunta recente . O que eu realmente quero é a distribuição de , ondesão uniformes em. Agora, a distribuição defoi computada com sucesso nosegmentomencionado, e vamos chamá-lo de. A distribuição de $a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $a,b,c,d$ $[0,1]$ $(a-d)^2+4bc$ $h(x)$ é simplesmente. A última etapa seria para calcular a distribuição da soma dee $\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $h(x^2)\cdot 2x$ $X=a+d$ maneira semelhante àanterior, masenão são independentes, e agora estou preso e nem sei por onde começar. $Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $X$ $Y$

Pode ser útil notar que e neste último os componentes sob a raiz (isto é,e) são fácil de calcular. Então, eu estou interessado na distribuição de $\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$ $X^2=(a+d)^2$ $W=-4(ad-bc)$ , conhecendo as distribuições dee $X+\sqrt{X^2+W}$ $X$ . $\sqrt{X^2+W}$

Não vejo nenhuma alteração útil de variáveis. Pensei em usar probabilidade condicional, mas como posso encontrar ? Talvez eu esteja muito à frente e talvez precise voltar alguns passos. $f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$

É possível calcular algo assim?

A distribuição resultante deve ficar assim: insira a descrição da imagem aqui

EDIT: A resposta aceita fornece a solução que eu estava procurando, no entanto, ainda estou curioso para derivar analiticamente. Quero dizer, na minha pergunta anterior, o CDF foi dado como uma integral:

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

com e dados por funções simples. Teoricamente, isso poderia ser integrado usando caneta e papel. É claro que usar software é natural. No entanto, ainda estou curioso para responder aqui de forma fechada. resposta de lobos toca uma campainha, mas ... Uma convolução de três pdfs de uma função (relativamente) complicada? $F$ $g$

— corey979
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Encontre o pdf de: $\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad$ $A,B,C,D$ $Uniform(0,1)$

$U = 4 BC$ $U$ $\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$

$(A,D,U)$ $f(a,d,u)$

$Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$ $Z$ $P(Z<z)$

onde estou usando a Probfunção do pacote mathStatica para o Mathematica para automatizar os detalhes.

$Z$ $z$

Tudo feito.

$Z$

Cheque Monte Carlo

O diagrama a seguir compara uma aproximação empírica de Monte Carlo do pdf (azul ondulado) ao pdf teórico derivado acima (vermelho tracejado). Parece bem.

— wolfies
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1

Arrumado! Embora eu não tenha o mathStatica, consegui fazê-lo diretamente no Mathematica. Isso responde completamente à minha pergunta, mas ainda estou curioso para fazê-lo sem um computador, de maneira semelhante à minha pergunta anterior. Lá, whuber forneceu a integral explícita e teoricamente que poderia ser calculada usando uma caneta e um papel. É claro que o uso de software é natural, mas como devo proceder no caso atual?

— Corey979

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Abramowitz e Stegun? ;)

— wolfies

1

Bem, você conhece as integrais que precisam ser avaliadas, portanto, é apenas uma questão de avaliá-las. Nos dias anteriores, tínhamos sistemas de álgebra computacional, quando confrontados com tarefas de integração desagradáveis e complicadas fora do comum, normalmente se dirigia a tabelas de integrais como Abramowitz e Stegun.

— wolfies

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Logo após ler a resposta dos lobos, entendi que podia calcular a distribuição final desde o início, sem todas as etapas do ponto médio:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] dá ao CDF e

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] fornece o PDF que funciona perfeitamente com minha simulação:

insira a descrição da imagem aqui

Isso usa diretamente a abordagem de uma resposta à minha pergunta anterior.

— corey979
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Sim - isso funciona muito bem aqui. Mas, curiosamente, NÃO parece funcionar para o seu problema original (mais simples). Ou seja, Integrate[ Boole[(a-d)^2 + 4 b c < x], {a,0,1}, {b,0,1}, {c,0,1}, {d,0,1}]retorna uma integral não avaliada.

— wolfies

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