Medidas de similaridade ou distância entre duas matrizes de covariância

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Existem medidas de similaridade ou distância entre duas matrizes de covariância simétricas (ambas com as mesmas dimensões)?

Estou pensando aqui em análogos à divergência KL de duas distribuições de probabilidade ou à distância euclidiana entre vetores, exceto aplicada a matrizes. Eu imagino que haveria algumas medidas de similaridade.

Idealmente, eu também gostaria de testar a hipótese nula de que duas matrizes de covariância são idênticas.

— Ram Ahluwalia
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as respostas para esta pergunta: quant.stackexchange.com/q/121/108 podem ser de alguma utilidade.

— precisa saber é o seguinte

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excelente pergunta e resposta no link - graças - sim, este é o lugar onde eu estava indo :)

— Ram Ahluwalia

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Pergunta relacionada: Gráfico de diagnóstico para avaliar a homogeneidade das matrizes de variância-covariância . Artigo relacionado: Um procedimento simples para a comparação de matrizes de covariância .

— Ameba diz Reinstate Monica

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Você pode usar qualquer uma das normas (consulte a Wikipedia em uma variedade de normas; observe que a raiz quadrada da soma das distâncias ao quadrado, , é chamada norma Frobenius e é diferente da norma , que é a raiz quadrada do maior autovalor de , embora, é claro, eles gerassem a mesma topologia). A distância KL entre as duas distribuições normais com a mesma média (digamos zero) e as duas matrizes de covariância específicas também está disponível na Wikipedia como . $\| A-B \|_p$ $\sqrt{\sum_{i,j} (a_{ij}-b_{ij})^2}$ $L_2$ $(A-B)^2$ $\frac12 [ \mbox{tr} (A^{-1}B) - \mbox{ln}( |B|/|A| ) ]$

Editar: se uma das matrizes é uma matriz implícita no modelo e a outra é a matriz de covariância da amostra, é claro que você pode formar um teste de razão de verossimilhança entre as duas. Minha coleção pessoal favorita desses testes para estruturas simples é apresentada em Rencher (2002) Methods of Multivariate Analysis . Casos mais avançados são abordados na modelagem da estrutura de covariância, na qual um ponto de partida razoável é Equações Estruturais de Bollen (1989) com Variáveis Latentes .

— StasK
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Eu tenho um problema com : ele não fornece o mesmo valor se você permitir e (uma distância real deve ser simétrica).

1 / 2 (tr (A^{- 1} B) - \log (| B | / | A |))

$1/2(\verb+tr+(A^{-1}B)-\log(|B|/|A|))$

A

$A$

B

$B$

— user603

Eu tenho um problema com : não é equivariante afim (se você girar as matrizes, a distância muda!). Além disso, você deve, de alguma forma, escalar suas matrizes (elas podem ser medidas em unidades muito diferentes). Além disso, é natural exigir que a distância entre duas matrizes de covariância seja a mesma que a distância entre as matrizes de correlação correspondentes: por isso sugiro .

(A - B)^{2}

$(A-B)^2$

(A det (A)^{- 1 / p} - B det (B)^{- 1 / p})^{2}

$(A\det(A)^{-1/p}-B\det(B)^{-1/p})^2$

— user603

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Primeiro, KL não é uma distância real, e isso é um fato bem conhecido. Segundo, se as matrizes são medidas em unidades diferentes, elas não podem ser iguais.

— StasK

A distância KL é semelhante à razão de verossimilhança ou estão relacionadas?

— hashmuke

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Indique e suas matrizes da dimensão . $\varSigma_1$ $\varSigma_2$ $p$

Número da : que ( ) é o maior (menor) autovalor de , em que é definido como: $\log(\lambda_1)-\log(\lambda_p)$ $\lambda_1$ $\lambda_p$ $\varSigma^*$ $\varSigma^*$ $\varSigma^*:=\varSigma_1^{-1/2}\varSigma_2\varSigma_1^{-1/2}$

Editar: editei a segunda das duas propostas. Eu acho que não entendi a pergunta. A proposta com base nos números de condição é muito usada em estatísticas robustas para avaliar a qualidade do ajuste. Uma fonte antiga que eu poderia encontrar é:

Yohai, VJ e Maronna, RA (1990). O desvio máximo de covariâncias robustas. Comunicações em Estatística - Teoria e Métodos, 19, 3925-2933.

Eu incluí originalmente a medida da relação Det:

Taxa de : que . $\log(\det(\varSigma^{**})/\sqrt{\det(\varSigma_2)*\det(\varSigma_1)})$ $\varSigma^{**}=(\varSigma_1+\varSigma_2)/2$

que seria a distância de Bhattacharyya entre duas distribuições gaussianas com o mesmo vetor de localização. Devo ter lido originalmente a pergunta como pertencente a um cenário em que as duas covariâncias eram provenientes de amostras de populações que se supunha terem meios iguais.

— user603
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Uma medida introduzida por Herdin (2005) Correlation Matrix Distance, uma medida significativa para avaliação de canais MIMO não estacionários é onde a norma é a norma de Frobenius.

d = 1 - \frac{tr (R_{1} \cdot R_{2})}{‖ R_{1} ‖ \cdot ‖ R_{2} ‖},

$d = 1 - \frac{\text{tr}(R_1 \cdot R_2)}{\|R_1\| \cdot \|R_2\|},$

— davidc
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+1. Muito obrigado por esta resposta, foi muito útil para mim.

— Ameba diz Reinstate Monica

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Esta é uma semelhança menos cosseno, certo?

— Firebug

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A distância da matriz de covariância é usada para rastrear objetos no Computer Vision.

A métrica usada atualmente é descrita no artigo: "Uma métrica para matrizes de covariância" , de Förstner e Moonen.

— Andres Romero
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