Por que o supremo da ponte browniana tem a distribuição Kolmogorov – Smirnov?

A distribuição Kolmogorov – Smirnov é conhecida a partir do teste Kolmogorov – Smirnov . No entanto, é também a distribuição do supremo da ponte browniana.

Como isso está longe de ser óbvio (para mim), eu gostaria de pedir uma explicação intuitiva dessa coincidência. Referências também são bem-vindas.

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

onde $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

por CLT você tem $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

esta é a intuição ...

a ponte browniana tem variação t ( 1 - t ) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge substitua t por F ( x ) . Isto é para um $B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$ ...

Você também precisa verificar a covariância e, portanto, ainda é fácil mostrar (CLT) que para ( ) ( G n ( x 1 ) , … , G n ( x k ) ) → ( B 1 , … , B k ) onde ( B 1 , … , B k ) é N ( 0 , Σ ) $x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$ com , σ i j = min ( F ( x i ) , F ( x j ) ) - F ( x i ) F ( x j ) . $\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

A parte difícil é mostrar que a distribuição do supremo do limite é o supremo da distribuição do limite ... Entender por que isso acontece requer alguma teoria empírica do processo, ler livros como van der Waart e Welner (não é fácil) . O nome do teorema é Teorema de Donsker http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

$n$$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$ , no limite de dados infinitos, convergirá para a distribuição subjacente.

$q$$x=q$ a função de distribuição empírica avança. Podemos vê-lo como uma caminhada aleatória que é restrita a começar e terminar na verdadeira função de distribuição. Depois que você souber disso, vasculhe a literatura pela enorme quantidade de informações conhecidas sobre passeios aleatórios para descobrir qual é o maior desvio esperado de um passeio assim.

$p$$p=2$$p$