Por que a variação da caminhada aleatória aumenta?

A caminhada aleatória definida como , em que é ruído branco. Indica que a posição atual é a soma da posição anterior + um termo imprevisível.$Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$$e_t$

Você pode provar que a função média , pois$\mu_t = 0$$E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

Mas por que a variação aumenta linearmente com o tempo?

Isso tem algo a ver com isso não é aleatório "puro", já que a nova posição está muito correlacionada com a anterior?

EDITAR:

Agora, entendo muito melhor visualizando uma grande amostra de passeios aleatórios e aqui podemos observar facilmente que a variação geral aumenta com o tempo,

e a média é esperada em torno de zero.

Talvez isso tenha sido trivial, afinal, já que nos estágios muito iniciais da série temporal (compare o tempo = 10, com 100) os caminhantes aleatórios ainda não tiveram tempo para explorar tanto.

Em resumo, porque continua adicionando a variação dos próximos incrementos à variabilidade que temos para chegar onde estamos agora.

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$ (independência)
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

e podemos ver que aumenta linearmente com .$t\sigma^2$$t$

A média é zero em cada momento; se você simulasse a série várias vezes e calculasse a média das séries por um determinado período, isso seria uma média de algo próximo de 0

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

Aqui está uma maneira de imaginá-lo. Para simplificar, vamos substituir o ruído branco por um coin flip$e_i$$e_i$

isso apenas simplifica a visualização, não há nada realmente fundamental na troca, exceto aliviar a pressão sobre a nossa imaginação.

Agora, suponha que você tenha reunido um exército de nadadeiras para moedas. As instruções deles são: ao seu comando, sacar a moeda deles e manter um registro prático de quais foram os resultados, juntamente com um resumo de todos os resultados anteriores. Cada nadadeira individual é uma instância da caminhada aleatória

A agregação de todo o seu exército deve lhe dar uma idéia do comportamento esperado.

flip 1: Cerca de metade do seu exército vira cara e metade vira coroa. A expectativa da soma, tomada em todo o seu exército, é zero. O valor máximo de em todo o seu exército é e o mínimo é , então o intervalo total é .$W$$1$$-1$$2$

flip 2: Cerca de meia cabeça giratória e metade virada coroa. A expectativa desse flip é novamente zero, portanto a expectativa de em todos os flips não muda. Alguns de seu exército lançaram , e outros outros lançaram , então o máximo de é e o mínimo é ; o intervalo total é .$W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n: Cerca de meia cabeça giratória e metade virada coroa. A expectativa desse flip é novamente zero, portanto a expectativa de em todos os flips não muda, ainda é zero. Se o seu exército é muito grande, alguns soldados muita sorte virou e outros . Ou seja, há alguns com cabeças e outros com caudas (embora isso esteja ficando cada vez mais raro com o passar do tempo). Então, pelo menos em nossa imaginação, o alcance total é .$W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

Então, aqui está o que você pode ver neste experimento mental:

• A expectativa da caminhada é zero, pois cada passo da caminhada é equilibrado.
• O alcance total da caminhada cresce linearmente com o comprimento da caminhada.

Para recuperar a intuição, tivemos que descartar o desvio padrão e usar em medida intuitiva, a faixa.

Isso tem algo a ver com isso não é aleatório "puro", já que a nova posição está muito correlacionada com a anterior?

Parece que por "puro" você quer dizer independente . Na caminhada aleatória, apenas os passos são aleatórios e independentes um do outro. Como você observou, as "posições" são aleatórias, mas correlacionadas , ou seja, não independentes .

A expectativa da posição ainda é zero, como você escreveu . A razão pela qual você observa posições diferentes de zero é porque as posições ainda são aleatórias, ou seja, são todos números aleatórios diferentes de zero. De fato, enquanto você aumenta a amostra, maior será observado de tempos em tempos, precisamente porque, como você observou, a variação está aumentando com o tamanho da amostra.$E[Y_t]=0$$Y_t$$Y_t$

A variação está aumentando porque, se você desembrulhar a posição da seguinte maneira: , é possível ver que a posição é uma soma de etapas, obviamente. As variações aumentam com o aumento do tamanho da amostra.$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

A propósito, os meios de erro também aumentam, mas em uma caminhada aleatória geralmente assumimos que os meios são zero, portanto, adicionar todos os zeros ainda resultará em zero. Há um passeio aleatório com um desvio: , onde se afasta do zero na taxa com o tempo da amostra.Y t μ $Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$$Y_t$$\mu t$

Vamos dar um exemplo diferente para uma explicação intuitiva: jogar dardos em um alvo. Temos um jogador que tenta apontar para o alvo, que consideramos uma coordenada chamada 0. O jogador lança algumas vezes e, na verdade, a média de seus lances é 0, mas ele não é muito bom, então a variação é de 20 cm.

Pedimos ao jogador para lançar um único novo dardo. Você espera que ele atinja o alvo?

Não. Embora a média seja exatamente o alvo, quando experimentamos um arremesso, é bem provável que não seja o alvo.

Da mesma forma, com caminhada aleatória, não esperamos que uma única amostra no tempo esteja próximo de 0. Isso é de fato o que a variação indica: a que distância esperamos que uma amostra esteja?$t$

No entanto, se coletarmos muitas amostras, veremos que ele gira em torno de 0. Assim como nosso jogador de dardos quase nunca atinge o alvo (grande variação), mas se ele lançar muitos dardos, ele os centrará. ao redor do alvo (média).

Se estendermos esse exemplo à caminhada aleatória, podemos ver que a variação aumenta com o tempo, mesmo que a média permaneça em 0. No caso da caminhada aleatória, parece estranho que a média permaneça em 0, mesmo que você saiba intuitivamente que quase nunca acaba exatamente na origem. No entanto, o mesmo vale para o nosso dardos: podemos ver que qualquer dardo quase nunca atinge o alvo com uma variação crescente, e ainda assim os dardos formarão uma bela nuvem ao redor do alvo - a média permanece a mesma: 0.

Aqui está outra maneira de obter a intuição de que a variação aumenta linearmente com o tempo.

Os retornos aumentam linearmente com o tempo. retorno por mês se traduz em retorno por ano - retorno por dia gera retorno por ano (assumindo independência).$.1\%$$1.2\%$$X$$365X$

Faz sentido que o intervalo de retornos também aumente linearmente. Se o retorno mensal for em média , faz sentido intuitivo que por ano seja de em média .$.1\%$$\pm .05\%$$1.2\%$$\pm .6\%$

Bem, se pensarmos intuitivamente em variação como alcance, faz sentido intuitivo que a variação aumente da mesma maneira que o retorno no tempo, linearmente.