Por que o CDF de uma amostra é distribuído uniformemente

Li aqui que, dada uma amostra de uma distribuição contínua com o cdf , a amostra correspondente a segue uma distribuição uniforme padrão. $X_1,X_2,...,X_n$ $F_X$ $U_i = F_X(X_i)$

Eu verifiquei isso usando simulações qualitativas em Python e pude verificar facilmente o relacionamento.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

Resultando no seguinte gráfico:

Gráfico mostrando a amostra de uma distribuição normal e o cdf da amostra.

Não consigo entender por que isso acontece. Suponho que tenha a ver com a definição do CDF e sua relação com o PDF, mas estou perdendo alguma coisa ...

Eu apreciaria se alguém pudesse me indicar alguma leitura sobre o assunto ou me ajudar a ter alguma intuição sobre o assunto.

EDIT: O CDF aparece assim:

CDF da distribuição amostrada

— Maxime Tremblay
fonte

Calcule o cdf de .

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong

Você encontraria uma prova dessa propriedade (para rv contínuos) em qualquer livro sobre simulação, pois essa é a base do método inverso de simulação em cdf.

— Xi'an

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— Zachary Blumenfeld

@ Xi'an É bom ressaltar que a conclusão é válida apenas para variáveis aleatórias contínuas. Às vezes, esse resultado é usado por engano para variáveis aleatórias discretas. Por outro lado, observe também que muitas provas envolvem a etapa na qual assume a estrita monotonicidade de , que também é uma suposição muito forte. O link a seguir fornece um resumo rigorosa sobre este tema: people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@Zhanxiong a única condição necessária para é que ele é càdlàg.

F

$F$

— 21815 AdamOu

Respostas:

Suponha que seja contínuo e crescente. Defina e observe que aceita valores em . Então $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

Por outro lado, se é uma variável aleatória uniforme que aceita valores em , $U$ $[0, 1]$

F_{você} (x) = \int_{R} f_{você} (você) d você = \int_{0 0}^{x} d você = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

Assim, para cada . $F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
fonte

Segue-se que Z tem uma distribuição uniforme (0, 1)?

— StatsSorceress 13/11

Intuitivamente, talvez faça sentido pensar em como uma função percentual, por exemplo, espera-se que de uma amostra gerada aleatoriamente a partir do DF fique abaixo de . Alternativamente, (pense em imagens inversas, não uma função inversa adequada por si só ) é uma função "quantil". Ou seja, é o ponto atrás do qual cai proporção da amostra. A composição funcional é mensuravelmente conmutativo . $F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

A distribuição uniforme é a única distribuição que possui uma função quantil igual a uma função percentil: elas são a função de identidade. Portanto, o espaço da imagem é igual ao espaço de probabilidade. mapeia variáveis aleatórias contínuas em um espaço (0, 1) com a mesma medida. Como para quaisquer dois percentis, , temos $F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— AdamO
fonte

Eu lutei por horas, mas finalmente entendi por que a variável aleatória derivada é distribuída uniformemente. Sua resposta realmente ajudou, muito obrigado. Parece muito com a álgebra onde 1 era a identidade multiplicativa.

Y = F (X)

$Y = F(X)$

— Aditya P