Intervalos de previsão com heterocedasticidade

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Estou usando R para executar regressão linear. Vi maneiras de calcular intervalos de previsão, mas estes dependem de dados homoscedásticos. Existe uma maneira de calcular intervalos de previsão com dados heterocedásticos?

— Andy
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Isso dependeria da natureza da heterocedasticidade. Se você deseja um intervalo de previsão, geralmente precisa de uma especificação paramétrica como:

y_{i} \sim N (x_{i}^{'} β, σ_{i} (x_{i}, z_{i}))

$y_i \sim N(\mathbf{x}_i'\beta,\sigma_i(\mathbf{x}_i,\mathbf{z}_i ))$ ou seja, é normalmente distribuído com a média , e desvio padrão , em que o desvio padrão é alguma função conhecida do ou talvez algum outro conjunto de variáveis , dessa forma, você pode estimar o desvio padrão para cada observação.

y_{i}

$y_i$

x_{i}^{'} β

$\mathbf{x}_i'\beta$

σ_{i} (x_{i}, z_{i})

$\sigma_i(\mathbf{x}_i,\mathbf{z}_i )$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

z_{i}

$\mathbf{z}_i$

i^{t h}

$i^{th}$

Exemplos de funções possíveis incluem; (Estudos de lucros firmes, um exemplo da "Análise Econométrica" de Greene "7ª edição CH 9), onde é o observação da variável dependente, ou, se estiver a trabalhar com os dados de séries de tempo, GARCH e / ou especificações de volatilidade estocástica. $\sigma^2_i(\mathbf{x}_i)=\sigma^2x_{i,k}$ $x_{i,k}$ $i^{th}$ $k^{th}$

Você pode usar as estimativas como os erros padrão para seus intervalos de previsão, se desejar. Vou renunciar a um tratamento formal aqui porque a contabilização de erros de estimativa em pode ser complicada, mas, com uma amostra suficientemente grande, ignorar o erro de estimativa não afeta o intervalo de previsão tanto. Em resumo, não é necessário abrir essa lata de minhocas aqui. Para uma explicação mais detalhada de tudo isso e mais exemplos, consulte o livro de Wooldridge "Econometria Introdutória: Uma Abordagem Moderna" , Cap. 8. $\hat \sigma_i(\mathbf{x}_i,\mathbf{z}_i )$ $\hat \sigma_i(\mathbf{x}_i,\mathbf{z}_i )$

O problema é que, quando as pessoas se referem à regressão heterocedástica ou "robusta", geralmente estão se referindo à situação em que a natureza precisa da heterocedasticidade (a função ) não é conhecido; nesse caso, é utilizado um estimador branco ou em duas etapas . Eles oferecem estimativas consistentes para mas não para o , e, portanto, você não tem uma maneira natural de estimar intervalos de previsão. $\sigma_i(\mathbf{x}_i,\mathbf{z}_i )$ $var(\hat \beta)$ $\sigma_i$ Eu argumentaria que os intervalos de previsão não são significativos neste contexto de qualquer maneira. A idéia por trás desses estimadores tipo sanduíche é estimar consistentemente o erro padrão dos coeficientes, $\hat \beta$ , sem o ônus de oferecer intervalos de previsão precisos para cada observação individual, tornando as estimativas mais "robustas".

Editar:

Só para ficar claro, o acima exposto considera apenas regressão de mínimos quadrados. Outras formas de regressão não paramétrica, como a regressão quantílica, podem oferecer meios de obter um intervalo de predição sem especificação paramétrica de erro padrão residual.

— Zachary Blumenfeld
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A regressão quantométrica não paramétrica fornece uma abordagem muito geral que permite tanto a heterocedasticidade quanto a não linearidade. Consulte a seção 9: http://www.econ.uiuc.edu/~roger/research/rq/vig.pdf

ATUALIZAÇÃO: Uma aproximação razoável para um intervalo de previsão de 90% é o espaço entre a curva de regressão do 5º percentil e a curva de regressão do 95º percentil. (Dependendo dos detalhes da técnica de estimativa de curvas e da esparsidade dos dados, convém usar algo mais parecido com os percentis 4 e 96 para ser "conservador"). A intuição para esse tipo de intervalo de previsão não paramétrico está aqui na wikipedia .

Esta resposta é apenas um ponto de partida. Uma quantidade significativa de trabalho foi realizada em intervalos de previsão de regressão quantílica . Ou apenas faça intervalos de previsão de regressão não paramétricos .

— zkurtz
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É verdade, mas como você obtém intervalos de previsão na regressão quantílica?

— Zachary Blumenfeld

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Se a regressão de sua resposta em sua variável explicativa for uma linha reta e sua variação aumentar com a variável explicativa, será necessário um modelo de regressão ponderado com $w = 1 / x_ {i}$ ou $w = 1 / x_ {i} ^ {2}$ (se sua variação não constante for mais extrema) como seu peso. Isso pesa sua variação pelo seu valor x, para que haja um relacionamento proporcional.

Aqui está o código com os pesos incluídos no modelo e na previsão. Observe que você precisa adicionar os pesos ao seu conjunto de dados original e ao seu novo conjunto de dados.

Agradecemos a @PopcornKing por seu código original de Calculando intervalos de previsão a partir de dados heterocedásticos .

library(ggplot2)
dummySamples <- function(n, slope, intercept, slopeVar){
  x = runif(n)
  y = slope*x+intercept+rnorm(n, mean=0, sd=slopeVar*x)
  return(data.frame(x=x,y=y))
}

myDF <- dummySamples(20000,3,0,5)
plot(myDF$x, myDF$y)
w = 1/myDF$x**2
t = lm(y~x, data=myDF, weights=w) 
summary(t)

newdata = data.frame(x=seq(0,1,0.01))
w = 1/newdata$x**2
p1 = predict.lm(t, newdata, interval = 'prediction', weights=w)
a <- ggplot()
a <- a + geom_point(data=myDF, aes(x=x,y=y), shape=1)
a <- a + geom_abline(intercept=t$coefficients[1], slope=t$coefficients[2])         
a <- a + geom_abline(intercept=t$coefficients[1],   slope=t$coefficients[2], color='blue')  
a <- ggplot()
a <- a + geom_point(data=myDF, aes(x=x,y=y), shape=1)
a <- a + geom_abline(intercept=t$coefficients[1], slope=t$coefficients[2],  color='blue')
newdata$lwr = p1[,c("lwr")]
newdata$upr = p1[,c("upr")]
a <- a + geom_ribbon(data=newdata, aes(x=x,ymin=lwr, ymax=upr),   fill='yellow', alpha=0.3)
a

— LindsayL
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