Caminhada aleatória com impulso

Considere uma caminhada aleatória inteira iniciando em 0 com as seguintes condições:

O primeiro passo é mais ou menos 1, com igual probabilidade.
Cada passo futuro é: 60% de probabilidade de estar na mesma direção que o passo anterior, 40% de probabilidade de estar na direção oposta

Que tipo de distribuição isso gera?

Eu sei que uma caminhada aleatória sem momento produz uma distribuição normal. O momento muda apenas a variação ou muda completamente a natureza da distribuição?

Eu estou procurando uma resposta genérica, por isso, 60% e 40% acima, eu realmente quero dizer p e 1-p

stochastic-processes randomness random-walk

— barrycarter
fonte

Na verdade, @Dilip, você precisa de uma cadeia de Markov com estados indexadas por pares ordenados

(i, i + 1)

$(i,i+1)$ e

(i, i - 1)

$(i,i-1)$ ,

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$ . As transições são

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$ e

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$ com probabilidade

p

$p$ e

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$ e

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$ com probabilidade

1 - p

$1-p$ .

— whuber

Observe que os tamanhos das etapas formam uma cadeia de Markov em

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$ e você (?) Iniciou a distribuição estacionária.

— cardeal

Você está querendo uma distribuição limitante (marginal) de

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$ , onde o

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$ são os passos da caminhada?

— cardeal

Outra abordagem pode ser examinar somas alternadas de variáveis geométricas aleatórias e aplicar alguma teoria de martingale. O problema é que você teria que definir algum tipo de tempo de parada, o que pode ser complicado.

— shabbychef

Respostas:

Para pular para a conclusão imediatamente, o "momento" não altera o fato de que a distribuição normal é uma aproximação assintótica da distribuição da caminhada aleatória, mas a variação muda de para . Isso pode ser derivado de considerações relativamente elementares neste caso especial. Não é muito difícil generalizar os argumentos abaixo para uma CLT para cadeias de Markov de espaço de estado finito, digamos, mas o maior problema é realmente o cálculo da variância. Para o problema em particular, pode $4np(1-p)$ $np/(1-p)$ calculados, e esperamos que os argumentos abaixo possam convencer o leitor de que é a variação correta.

Usando o insight que o Cardinal fornece em um comentário, a caminhada aleatória é dada como que e os formam uma cadeia de Markov com matriz de probabilidade de transição Para considerações assintóticas quando a distribuição inicial de não desempenha nenhum papel, então vamos corrigir

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

para o argumento a seguir e assuma também que

. Uma técnica eficiente é decompor a cadeia de Markov em ciclos independentes. Seja

denotar a primeira vez, após o tempo 1, que a cadeia de Markov retorna a 1. Ou seja, se

então

, e se

então

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$ . Em geral, deixe

denotar o

ésimo tempo de retorno para 1 e deixe

denotar os tempos de inter-retorno (com

). Com essas definições, temos

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

Com então $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
Como assume o valor para e ele sustenta que $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
Os tempos entre retornos, , para uma cadeia de Markov são iid (formalmente devido à forte propriedade de Markov) e, neste caso, com média e variação $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ . É indicado como calcular a média e a variação abaixo. $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
O CLT comum para variáveis iid produz que $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
A última coisa a nota, que requer um pequeno salto de fé, porque deixar de fora os detalhes, é que , que os rendimentos que $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

Para calcular os momentos de pode-se notar que e para , . Em seguida, técnicas semelhantes às usadas ao calcular momentos para a distribuição geométrica podem ser aplicadas. Alternativamente, se é geométrico com probabilidade de sucesso e $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
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1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

$\rho$ $\rho = 2p - 1$

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$ where

n \bar{x}

$n \bar{x}$ is the position of the random walk after

n

$n$ steps, and

s

$s$ is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in

n

$n$ ,

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$ . The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of

n \bar{x}

$n \bar{x}$ should be around

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ .

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather $p$ should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)

— shabbychef
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Interessante. Não tenho certeza de que produz algo muito sensato para o

p = 0

$p=0$ subcaso; no entanto, isso pode ser devido a patologias associadas a esse caso.

— cardeal

@cardinal good catch, the autocorrelation should be

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$ not

1 - 2 p

$1 - 2p$ . correcting it...

— shabbychef