Como mostrar que um estimador é consistente?

É suficiente mostrar que MSE = 0 como $n\rightarrow\infty$ ? Também li em minhas anotações algo sobre plim. Como encontro o plim e o uso para mostrar que o estimador é consistente?

estimation convergence consistency

— Paciência
fonte

EDIT: corrigidos pequenos erros.

Aqui está uma maneira de fazer isso:

Um estimador de $\theta$ (vamos chamá-lo de $T_n$ ) é consistente se convergir em probabilidade para $\theta$ . Usando sua notação

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

Convergência em probabilidade, matematicamente, significa

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ para todos $\epsilon>0$ .

A maneira mais fácil de mostrar convergência em probabilidade / consistência é invocar a Desigualdade de Chebyshev, que afirma:

. $P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Portanto,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

E então você precisa mostrar que vai para 0 como . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : O acima exposto requer que o estimador seja pelo menos assintoticamente imparcial. Como G. Jay Kerns aponta, considere o estimador (para estimar a média ). é enviesada, tanto para finito e assintoticamente, e como . No entanto, $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ não é um estimador consistente de . $\mu$

EDIT 3 : Veja os pontos do cardeal nos comentários abaixo.

@ G.JayKerns A imparcialidade é desnecessária para isso. Considere

é um estimador tendencioso do desvio padrão, mas você pode usar o argumento acima para mostrar que é consistente.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Parece ser bom (+1); e vou excluir meus comentários anteriores.

@ G.JayKerns Seus comentários foram um complemento necessário. Devemos sempre garantir que estamos cientes das suposições em que estamos trabalhando.

@ MikeWierzbicki: Acho que precisamos ter muito cuidado, principalmente com o que entendemos por assintoticamente imparcial . Existem pelo menos dois conceitos diferentes que geralmente recebem esse nome e é importante distingui-los. Observe que, em geral, não é verdade que um estimador consistente seja assintoticamente imparcial no sentido de que

mesmo quando a média

existe para todos os

. Muitas pessoas chamam a convergência

imparcialidade no limite ou ... (cont.)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$ imparcialidade aproximada

— cardeal

Obviamente, para que um estimador consistente seja enviesado no limite, a convergência em

deve falhar, já que

que

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— cardeal