Correlação intraclasse (ICC) para uma interação?

Suponha que eu tenha alguma medida para cada assunto em cada site. Duas variáveis, assunto e site, são de interesse em termos de computação de valores de correlação intraclasse (ICC). Normalmente eu usaria a função lmerdo pacote R lme4e executava

lmer(measurement ~ 1 + (1 | subject) + (1 | site), mydata)

Os valores de ICC podem ser obtidos a partir das variações dos efeitos aleatórios no modelo acima.

No entanto, li recentemente um artigo que realmente me intriga. Usando o exemplo acima, os autores calcularam três valores de ICC no artigo com a função lme do pacote nlme: um para o assunto, um para o site e outro para a interação entre o assunto e o site. Não foram fornecidos mais detalhes no artigo. Estou confuso das duas perspectivas a seguir:

1. Como calcular os valores de ICC com lme? Não sei como especificar esses três efeitos aleatórios (assunto, site e sua interação) no lme.
2. É realmente significativo considerar o TPI para a interação de assunto e site? Da modelagem ou da perspectiva teórica, você pode calcular, mas conceitualmente tenho problemas para interpretar essa interação.

A fórmula do modelo R

lmer(measurement ~ 1 + (1 | subject) + (1 | site), mydata)

se encaixa no modelo

$$Y_{ijk} = \beta_0 + \eta_{i} + \theta_{j} + \varepsilon_{ijk}$$

onde é o k 'th de i em j , η i é o sujeito i efeito aleatório, θ j é o site j efeito aleatório e ε i j k é o restante do erro. Esses efeitos aleatórios têm variações σ 2 η , σ 2 θ , σ 2 ε que são estimadas pelo modelo. (Observe que, se o assunto estiver aninhado no site, você escreveria tradicionalmente θ i $Y_{ijk}$$k$measurementsubject $i$site $j$$\eta_{i}$$i$$\theta_{j}$$j$$\varepsilon_{ijk}$$\sigma^{2}_{\eta}, \sigma^{2}_{\theta}, \sigma^{2}_{\varepsilon}$$\theta_{ij}$aqui em vez de ).$\theta_{j}$

Para responder à sua primeira pergunta sobre como calcular os ICCs: neste modelo, os ICCs são a proporção da variação total explicada pelo respectivo fator de bloqueio. Em particular, a correlação entre duas observações selecionadas aleatoriamente sobre o mesmo assunto é:

$${\rm ICC}({\rm Subject}) = \frac{\sigma^{2}_{\eta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

A correlação entre duas observações selecionadas aleatoriamente do mesmo site é:

$${\rm ICC}({\rm Site}) = \frac{\sigma^{2}_{\theta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

A correlação entre duas observações selecionadas aleatoriamente no mesmo indivíduo e no mesmo local (a chamada interação ICC) é:

$${\rm ICC}({\rm Subject/Site \ Interaction}) = \frac{\sigma^{2}_{\eta}+\sigma^{2}_{\theta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

${\rm ICC}$Subjectsite

Cada uma dessas quantidades pode ser estimada inserindo as estimativas dessas variações que resultam do ajuste do modelo.

${\rm ICC}$${\rm ICC}$

Subject ${\rm ICC}$Subjectsite$\sigma^{2}_{\eta}$site