Como o método de transformação inversa funciona?

Como o método de inversão funciona?
Digamos que eu tenha uma amostra aleatória com densidade acima de e, por conseguinte, com CDF em . Então, pelo método de inversão, recebo a distribuição de como . f ( x ; θ ) = $X_1,X_2,...,X_n$ 0<x<1FX(x)=x1/θ(0,1)XF - 1 X(u)=u$f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$
$0<x<1$$F_X(x)=x^{1/\theta}$$(0,1)$$X$$F_X^{-1}(u)=u^\theta$

Então $u^\theta$ tem a distribuição de $X$ ? É assim que o método de inversão funciona?

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

O método é muito simples, então vou descrevê-lo em palavras simples. Primeiro, pegue a função de distribuição cumulativa de alguma distribuição da qual você deseja amostrar. A função assume como entrada algum valor x e informa qual é a probabilidade de obter X ≤ x . tão$F_X$$x$$X \leq x$

inverso dessa função, levaria p como entrada e retornaria x . Observe que p 's são distribuídos uniformemente - isso poderia ser usado para a amostragem de qualquer F X se você sabe F - 1 X . O método é chamado de amostragem de transformação inversa . A ideia é muito simples: é fácil amostrar valores uniformemente a partir de U ( 0 , 1 ) ; portanto, se você quiser amostrar a partir de algum F X , basta pegar os valores u $F_X^{-1}$$p$$x$$p$$F_X$$F_X^{-1}$$U(0, 1)$$F_X$ e passe u através de F - 1 X para obter x 's$u \sim U(0, 1)$$u$$F_X^{-1}$$x$

ou em R (para distribuição normal)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

Para visualizá-lo, observe o CDF abaixo, geralmente, pensamos em distribuições em termos de olhar para o eixo para probabilidades de valores de eixo x . Com esse método de amostragem, fazemos o oposto e começamos com "probabilidades" e as usamos para escolher os valores que estão relacionados a elas. Com distribuições discretas de tratar L como uma linha a partir de 0 para 1 e os valores com base em atribuir onde faz algum ponto L se encontrar nesta linha (por exemplo, 0 se 0 ≤ u < 0,5 ou 1 se 0,5 ≤ u ≤ 1 para a amostragem a partir de $y$$x$$U$$0$$1$$u$$0$$0 \leq u < 0.5$$1$$0.5 \leq u \leq 1$ ).$\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

Infelizmente, isso nem sempre é possível, pois nem todas as funções têm seu inverso; por exemplo, você não pode usar esse método com distribuições bivariadas. Também não precisa ser o método mais eficiente em todas as situações; em muitos casos, existem algoritmos melhores.

Você também pergunta qual é a distribuição de . Desde F - 1 X é o inverso de M X , em seguida, F X ( M - 1 X ( u ) ) = u e F - 1 X ( F X ( x ) ) = x , por isso, sim, os valores obtidos utilizando este método têm a mesma distribuição que $F_X^{-1}(u)$$F_X^{-1}$$F_X$$F_X(F_X^{-1}(u)) = u$$F_X^{-1}(F_X(x)) = x$$X$ . Você pode verificar isso por uma simulação simples

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

Sim, tem a distribuição de$U^θ$ .$X$

Dois pontos adicionais na intuição por trás do método de transformação inversa podem ser úteis

(1) Para entender o que $F^{-1}$ realmente significa, consulte um gráfico na resposta de Tim para Me ajudar a entender a função quantile (CDF inversa)

(2) [Por favor, simplesmente ignore o seguinte, se isso traz mais confusão ao invés de clareza]

Deixe ser qualquer variável aleatória (RV) com contínua e estritamente crescente CDF F . Então F ( X ) ∼ Unif ( 0 , 1 ) Nota na notação: X é um rv Portanto, a função de rv X , F ( X ) é um próprio rv. $X$$F$

Por exemplo, se você inverter a pergunta, para ter acesso a e desejar gerar um uniforme padrão, então X 1 / θ ∼ Unif ( 0 , 1 ) . Vamos chamar esta variável aleatória U . Então U = X 1 / θ Voltando à sua pergunta, você tem a tarefa oposta: para gerar X fora de U . Então, de fato X = U $X$$X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$$U$

PS. Nomes alternativos para o método são transformação integral de probabilidade, amostragem de transformação inversa, transformação quantil e, em algumas fontes, "o teorema fundamental da simulação".