Distribuição de um polinômio de segundo grau de uma variável aleatória gaussiana

Gostaria de calcular

P (Y = a X^{2} + b X + c < 0)

$P(Y=aX^2+bX+c<0)$

onde . Eu posso fazer isso facilmente usando Monte Carlo. No entanto, me pediram para encontrar o pdf analítico de e depois calcular $X \sim N(0,\sigma)$ $f_Y(y)$ $Y$

I = \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y

$I=\int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy$

Eu acho que $f_Y(y)$ será tal que $I$ só pode ser calculado numericamente. No entanto, como é uma integral univariada, métodos numéricos estão disponíveis para computá-lo com uma precisão muito alta. Existe uma expressão (relativamente simples) para $f_Y(y)$ , para que eu possa executar a integração numérica? Ou existe outra possibilidade para computar $I$ , além de Monte Carlo (que, na minha opinião, é a abordagem mais sensata)?

— DeltaIV
fonte

Você precisa primeiro encontrar o pdf de

Y

$Y$ e depois integrá-lo na linha real negativa, ou pode usar o método indicado por mpiktas que evita encontrar o pdf de

Y

$Y$ ?

— usar o seguinte código

@DilipSarwate, obrigado pela pergunta. Fui solicitado especificamente a 1. encontrar e 2. integrar sobre . Então, uma resposta que faça exatamente isso seria ótima. Por outro lado, posso salientar que a solicitação não é razoável e que já tenho dois métodos muito bons (MC e @mpiktas) que funcionam bem. Portanto, a resposta para sua pergunta é: eu não preciso estritamente (não vou ser demitido se não o fizer), mas com certeza gostaria de poder fazê-lo (evitando assim outra discussão com o solicitante) .

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

[- \infty, 0]

$[-\infty,0]$

— DeltaIV

OK aqui vai. Observe que que pode ser expresso em termos do CDF gaussiano padrão usando o método descrito na resposta do @ mpkitas. Tomando a derivada wrt, fornecerá o pdf . Além disso, informe ao seu solicitante que você não precisa realmente_explicitamente_ integrar o pdf para encontrar pois cujo valor você já determinou.

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {a X^{2} + b X + c - y \leq 0}

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{aX^2+bX+c-y \leq 0\}$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

I

$I$

I = F_{Y} (0)

$I = F_Y(0)$

— precisa saber é o seguinte

@DilipSarwate fantastic! Em outras palavras, e na resposta do mpkitas tornam-se funções de , e apenas aplico a regra da cadeia para derivação. Muito obrigado!

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

y

$y$

— precisa saber é o seguinte

Observe que , onde e são raízes do polinomial . Devemos assumir que e são reais e diferentes, caso contrário, a probabilidade em questão é trivialmente zero ou um. $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ $x_1$ $x_2$ $ax^2+bx+c$ $x_1$ $x_2$

Nós temos dois casos.

$a>0$ , então . $P(aX^2+bX+c<0) = P(x_1<X<x_2)$
$a<0$ , então $P(aX^2+bX+c<0) = P(X<x_1 \cup X>x_2)=1- P(x_1<X<x_2).$

Como é normal, as probabilidades podem ser calculadas usando a função de distribuição cumulativa da variável normal. $X$

— mpiktas
fonte

excelente! E, é claro, temos expressões analíticas para e (raízes de uma equação quadrática), então tudo é muito simples. Obrigado! PS, é claro, e são sempre reais e distintos no meu caso. Eu esqueci de especificar isso.

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

— DeltaIV

Solução muito inteligente. Eu estava prestes a sugerir derivar a distribuição de mas totalmente desnecessário. Bem feito!

Y

$Y$

— ramhiser

@ JohnA.Ramey Veja os comentários sobre a questão principal.

— precisa saber é o seguinte