O que significa dizer que um evento "acontece eventualmente"?

Considere uma caminhada aleatória unidimensional nos números inteiros com o estado inicial : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

onde os incrementos são IID tais que . $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

Pode-se provar que (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

onde o subscrito indica a posição inicial.

$\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Ambas as provas podem ser encontradas em http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Ao ler o artigo, compreendo as duas provas.

Minha pergunta é, no entanto, qual é o significado de "eventualmente" na primeira afirmação e também em geral. Se algo acontece "eventualmente", não precisa ocorrer em tempo finito, não é? Se sim, qual é realmente a diferença entre algo que não acontece e algo que não acontece "eventualmente"? As afirmações (1) e (2), em certo sentido, estão se contradizendo para mim. Existem outros exemplos como este?

EDITAR

Só quero adicionar uma motivação para a pergunta, ou seja, um exemplo direto de algo que acontece "eventualmente", mas com tempo de espera finito .

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Portanto, sabemos que o caminhante "eventualmente" se moverá para a esquerda e o tempo de espera esperado antes de fazê-lo (isto é, se mover para a esquerda) é . $1/(1/2)=2$

Ver algo que acontece "eventualmente", mas com um "tempo de espera" infinito e esperado, foi um exagero para minha imaginação. A segunda metade da resposta do @ whuber é outro ótimo exemplo.

— Ye Tian
fonte

eventualmente não significa em tempo finito. Isso é precisamente o que está sendo contrastada: P é finito, enquanto expectativa de tau é infinito

— seanv507

Bem, há o exemplo canônico da distribuição Cauchy en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

— seanv507

@ seanv507 - Sim, embora a média da distribuição de Cauchy seja indefinida em vez de infinita (uma média de amostra do db de Cauchy saltará à medida que aproxima do infinito em vez de convergir constantemente para + infinito). Eu estava pensando na distribuição Pareto ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), que tem mean = Infinity quando seu parâmetro de forma e ainda tem uma função de distribuição de probabilidade bem definida.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— robertf

@RobertF thanks - Eu deveria ter dito Pareto #

— seanv507

Existe algum conforto nisso tudo: se , então , mas não o contrário.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Alex R.

Respostas:

Como você demonstraria um evento "eventualmente acontece"? Você conduziria um experimento mental com um oponente hipotético. Seu oponente pode desafiá-lo com qualquer número positivo . Se você encontrar um (que provavelmente depende de ) para o qual a chance do evento acontecer no tempo é pelo menos , você vence. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

No exemplo, " " é uma notação enganosa, porque você as usa para se referir a um estado de uma caminhada aleatória, bem como a toda a caminhada aleatória em si. Vamos ter o cuidado de reconhecer a distinção. "Alcança eventualmente" significa que se refere a um subconjunto do conjunto de todos os passeios aleatórios . Cada passeio tem infinitos passos. O valor de no tempo é . " atinge por tempo " refere-se ao subconjunto de de caminhadas que atingiram o estado por tempo $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ . Rigorosamente, é o conjunto

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

Na sua resposta ao oponente imaginário, você está exibindo alguns com a propriedade que $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Como é arbitrário, você tem disponível todos os elementos do conjunto $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Lembre-se de que se, e somente se, houver um finito para o qual , não haverá qualquer número infinito envolvido nesta união.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

Sua capacidade de vencer o jogo mostra que essa união tem uma probabilidade superior a todos os valores da forma , não importa quão pequeno seja . Consequentemente, essa probabilidade é pelo menos e, portanto, é igual a . Você terá demonstrado, então, que $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Uma maneira simples de apreciar a distinção entre "acontecer eventualmente" e ter um tempo infinito esperado na primeira passagem é contemplar uma situação mais simples. Para qualquer número natural, seja a sequência $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

em que zeros são seguidos por uma sequência interminável de unidades. Em outras palavras, esses são os passeios que permanecem na origem e, em algum momento (finito), passam para o ponto e ficam lá para sempre. $n$ $1$

Seja o conjunto de todos esses com a álgebra sigma discreta. Atribua uma medida de probabilidade via $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Isso foi projetado para ter a chance de pular para no tempo igual a , que obviamente se aproxima arbitrariamente de perto de . Você ganhará o jogo. O salto finalmente acontece e, quando isso acontecer, será em algum momento finito. No entanto, o tempo esperado em que ocorre é a soma da função de sobrevivência (que oferece as chances de não ter saltado no tempo ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

que diverge. Isso ocorre porque é dada uma probabilidade relativamente grande de esperar muito tempo antes de pular.

— whuber
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Estou entendendo errado se eu li sua primeira seção como resumindo-se a um argumento epsilon / delta e, assim, basicamente dizendo apenas (onde é a probabilidade de algum evento após etapas) ?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpm Não se resume apenas a ele: é um argumento epsilon-delta. Nesse caso, "delta" é " " e "epsilon" é escrito " " como um lembrete de que é uma probabilidade. A ênfase aqui está na finitude de : os limites são definidos em termos de valores finitos e operações finitas, não infinitos.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

Agradeço a um usuário anônimo por sugerir o uso de underbracena descrição de .

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

Que algo aconteça eventualmente significa que há algum ponto no tempo em que isso acontece, mas há uma conotação de que alguém não está se referindo a nenhum tempo específico especificado antes do qual isso acontece. Se você diz que algo acontecerá dentro de três semanas, é uma afirmação mais forte do que acontecerá eventualmente. Que isso aconteça eventualmente não especifica um tempo, como "três semanas" ou "trinta bilhões de anos" ou "um minuto".

— Michael Hardy
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