Raiz esperada do polinômio aleatório quadrático

Suponha que sejam variáveis aleatórias iid, com distribuição uniforme em . Estou interessado nas raízes esperadas do polinômio , que são variáveis aleatórias complexas dadas por e $A,B,C$ $[-1,1]$ $Ax^2 + Bx + C$

Z_{1} = \frac{- B + \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A}

$Z_1 = \frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$

Z_{2} = \frac{- B - \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A} .

$Z_2 = \frac{-B-\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.$

Fazendo simulações, e

E [Z_{1}] \approx 0.3559 + 0.0005 i

$E[Z_1] \approx 0.3559 + 0.0005i$

E [Z_{2}] \approx - 0.6421 - 0.0005 i .

$E[Z_2] \approx -0.6421 - 0.0005i.$

Para confirmar isso, preciso calcular esses valores matematicamente. Para por exemplo, isso significa calcular a integral $E[Z_1]$

\frac{1}{8} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} d a d b d c .

$\frac{1}{8}\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ da\ db\ dc.$

Infelizmente, parece que essa integral tem valores diferentes quando alteramos a ordem da integração. Eu tentei calcular com Wolframalpha. Isso me dá zero ou não é possível calcular, dependendo da ordem. Provavelmente, isso ocorre porque o termo chega ao infinito no intervalo de integração, portanto, não podemos usar o Teorema de Fubini. Não tenho certeza se Wolframalpha apenas falhou em calcular algumas integrais ou realmente não está definido. Esse segundo cenário significa que não tem valor esperado, portanto o polinômio aleatório não tem raiz esperada. Eu acho que esse é um cenário estranho, portanto, eu realmente preciso confirmar se é esse o caso ou não. $\frac{1}{2a}$ $E[Z_1]$ $Z_1$ $Ax^2 + Bx + C$

uniform polynomial

— Integrante
fonte

Quando (com probabilidade de 0,6272), a parte imaginária é 0, caso contrário, não é zero e, quando é diferente de zero, a magnitude média da parte imaginária será correspondentemente cerca de 2,68 vezes mais. maior que a média dos dois conjuntos de casos. Tem certeza de que pretende fazer a média dos dois casos? Os valores de estão no intervalo de -4 a 5 e a distribuição não é simétrica. Na verdade, parece com o chapéu de Gandalf

Δ = B^{2} - 4 A C \geq 0

$\Delta=B^2-4AC\geq 0$

Δ

$\Delta$

— Glen_b -Reinstate Monica

Seu e não estão bem definidos até que você tenha escolhido qual raiz complexa usar. Essa escolha afeta suas distribuições.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Eles não são dados explicitamente. Cada número tem duas raízes quadradas complexas. Você precisa escolher qual será usado para e qual será para .

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Não existe um valor exclusivo de, digamos, . É um dos dois valores complexos. Como nenhum deles é real, não faz sentido chamar um de "positivo" ou o outro de "negativo": você deve escolher qual atribuir a e qual . Seu software teve que fazer uma escolha para você - mas isso não significa que é a única opção. Veja en.wikipedia.org/wiki/Branch_point , por exemplo.

\sqrt{i}

$\sqrt{i}$

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

A distinção entre e , que diferem de acordo com o sinal que precede a raiz quadrada, é explicitamente uma distinção entre positivo e negativo. Sua observação, no entanto, mostra que, em última análise, isso não importa. No entanto, os resultados específicos de qualquer simulação de fazer depender de alguma tal convenção.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Seu e não estão bem definidos até que você tenha escolhido qual raiz complexa usar. Essa escolha pode afetar suas distribuições. (Na verdade, não existe, devido às simetrias de , e torno de ). $Z_1$ $Z_2$ $A$ $B$ $C$ $0$

Independentemente disso, como está bem definido, suponha que você tenha feito essa escolha e que o tenha expectativas finitas. Da independência de e e do fato de a densidade de não se aproximar de zero próximo de , conclui-se que ouvi dizer que razões ou inversas de variáveis aleatórias geralmente são problemáticas, por não haver expectativas. Por que é que? que não tem expectativa. Mas como , isso cria uma contradição demonstrando que pelo menos um de e não podem ter expectativa. $Z_1+Z_2=-B/A$ $Z_i$ $A$ $B$ $A$ $A=0$ $-B/A$ $E[-B/A]=E[Z_1+Z_2]$ $Z_1$ $Z_2$

Você também pode argumentar pela simetria desse problema que a expectativa de , se existir, deve ser zero. (A distribuição de e a distribuição de são as mesmas, mas as distribuições correspondentes de são negativas para cada outro. Ergo , as suas expectativas devem ser negativos um do outro, também.) Portanto, a expectativa de cada é apenas . Isso tem uma expressão mais simples como uma integral: $\sqrt{B^2-4AC}/(2A)$ $(A,B,C)$ $(-A,B,-C)$ $\sqrt{B^2-4AC}/(2A)$ $Z_i$ $E[-B/(2A)]$

E [- B / 2 A] = \frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} - \frac{b}{2 a} d a d b

$E[-B/2A] = \frac{1}{4}\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 -\frac{b}{2a} da db$

Podemos tentar avaliá-lo como uma integral iterada (de acordo com o Teorema de Fubini). No entanto, a integral interior (em relação a ) diverge a : $a$ $0$

lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{- d a}{a} = lim_{t \to 0^{+}} \log (t) \to - \infty

$\lim_{t\to 0^{+}} \int_t^1 \frac{-da}{a} = \lim_{t\to 0^{+}}\log(t) \to -\infty$

enquanto

lim_{t \to 0^{-}} \int_{- 1}^{t} \frac{- d a}{a} = lim_{t \to 0^{-}} (- \log (- t)) \to \infty,

$\lim_{t\to 0^{-}} \int_{-1}^t \frac{-da}{a} = \lim_{t\to 0^{-}}(-\log(-t)) \to \infty,$

demonstrando que é indefinido. É por isso que é inválido alterar a ordem da integração - o Teorema de Fubini não se aplica - para obter para a integral sobre e, assim, obter o valor (errado) de para a expectativa. $0$ $b$ $0$

Em qualquer análise, a fonte da dificuldade é clara: tem uma densidade não desprezível em qualquer vizinhança zero. $A$

— whuber
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