Distribuição condicional da variável aleatória uniforme dada a estatística da ordem

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Tenho a seguinte pergunta em mãos:

Suponha que são variáveis aleatórias iid , seguindo Unif . qual é a distribuição condicional de dado ? $U,V$ $(0,1)$ $U$ $Z:=\max(U,V)$

Tentei escrever $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$ onde $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

Mas não estou chegando a lugar nenhum.

— Qwerty
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Isso pode estar errado, mas aqui vai. Se

U

$U$ é o máximo, então

U = Z

$U=Z$ . Caso contrário,

U < V = Z

$U<V=Z$ , então

U

$U$ seria uniforme em

[0, Z]

$[0,Z]$ . Os dois casos devem ter igual probabilidade, então

U

$U$ possui uma mistura das duas distribuições?

— GeoMatt22

Publicado em math.stackexchange.com/questions/1905481/… .

— StubbornAtom

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Uma imagem pode ajudar. Distribuições uniformes independentes no intervalo podem ser consideradas uma distribuição uniforme no quadrado unitário . Eventos são regiões da praça e suas probabilidades são suas áreas. $[0,1]$ $I^2 = [0,1]\times [0,1]$

Seja qualquer valor possível de . O conjunto de coordenadas que forma as arestas superior e direita de um quadrado do lado . Seja um pequeno número positivo. O conjunto de coordenadas cujo máximo está entre e forma um espessamento estreito desse quadrado, conforme sombreado na figura. Sua área é a diferença das áreas de dois quadrados, um do lado e o outro do lado , de onde $z$ $\max(U,V)$ $(U,V)$ $\max(U,V)=z$ $z$ $dz$ $(U,V)$ $z$ $z+dz$ $z+dz$ $z$

\begin{matrix} (1) & Pr (z \leq Z \leq z + d z) = (z + d z)^{2} - z^{2} = 2 z d z + (d z)^{2} . \end{matrix}

$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$

Seja qualquer valor possível de : é marcado com uma linha tracejada vertical nas figuras. $u$ $U$

O painel esquerdo mostra um caso em que : A chance de ser a área à esquerda dessa linha (igual a ); mas o evento em que e está entre e é apenas a área sombreada em marrom. Como um retângulo, sua área é sua largura vezes sua altura . Portanto, $u \le z$ $U\le u$ $u$ $U\le u$ $Z$ $z$ $z+dz$ $u$ $dz$

\begin{matrix} (2) & Pr (U \leq u, z \leq Z \leq z + d z) = u d z . \end{matrix}

$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$

O painel direito mostra um caso em que . Agora, a chance de e consistir em dois retângulos. O de cima tem base e altura ; o da direita tem base e altura . Portanto $z \lt u \le z+dz$ $U \le u$ $z \lt Z \le z+dz$ $u$ $dz$ $(u-z)$ $z+dz$

\begin{matrix} (3) & Pr (U \leq u, z \leq Z \leq z + d z) = u d z + (u - z) (z + d z) . \end{matrix}

$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$

Por definição, as probabilidades condicionais são essas chances divididas pela chance total que , dada em acima. Divida e por esse valor. Permitir que seja infinitesimal e reter a parte padrão do resultado dá as chances condicionais de . Assim, quando , $z \le Z \le z+dz$ $(1)$ $(2)$ $(3)$ $dz$ $Z=z$ $0 \le u \le z$

Pr (U \leq u | Z = z) = \frac{u d z}{2 z d z + (d z)^{2}} = \frac{u}{2 z + d z} \approx \frac{u}{2 z} .

$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$

Quando , escreva para e calcule $z \lt u \le z+dz$ $u = z + \lambda dz$ $0 \lt \lambda \le 1$

Pr (U \leq u | Z = z) = \frac{u d z + (u - z) (z + d z)}{2 z d z + (d z)^{2}} = \frac{(z + λ d z) d z + (λ d z) (z + d z)}{2 z d z + (d z)^{2}} \approx \frac{1 + λ}{2} .

$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$

Finalmente, para , a área marrom no painel direito cresceu para ser igual à área cinza, de onde a proporção é . $u \gt z+dz$ $1$

Esses resultados mostram que a probabilidade condicional cresce linearmente de a medida que cresce de a e dispara linearmente de a no intervalo infinitesimal entre e , então permanece em para todos os maiores . Aqui está um gráfico: $0$ $z/(2z)=1/2$ $u$ $0$ $z$ $1/2$ $1$ $z$ $z+dz$ $1$ $u$

Como é infinitesimal, não é mais possível distinguir visualmente de : o gráfico salta de uma altura de a . $dz$ $z$ $z+dz$ $1/2$ $1$

Reunindo o exposto em uma única fórmula a ser aplicada a qualquer para o qual , poderíamos escrever a função de distribuição condicional como $z$ $0 \lt z \le 1$

F_{U | Z = z} (u) = {\begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \frac{u}{2 z} & 0 < u \leq z \\ 1 & u > z . \end{cases}

$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$

Esta é uma resposta completa e rigorosa. O salto mostra que uma função de densidade de probabilidade não descreverá adequadamente a distribuição condicional no valor . Em todos os outros pontos, porém, há uma densidade . É igual a para , para (a derivada de em relação a ) e para . Você pode usar uma "função generalizada" para escrever isso em uma forma semelhante à densidade. Seja a "densidade generalizada", dando um salto de magnitude $U=z$ $f_{U|Z=z}(u)$ $0$ $u\le 0$ $1/(2z)$ $0 \le u \lt z$ $u/(2z)$ $u$ $0$ $u \gt z$ $\delta_z$ $1$ em : ou seja, é a "densidade" de um átomo de probabilidade unitária localizado em . Então a densidade generalizada em pode ser escrita para expressar o fato de que uma probabilidade de está concentrada em . Na íntegra, poderíamos escrever $z$ $z$ $z$ $\frac{1}{2}\delta_z$ $1/2$ $z$

f_{U | Z = z} (u) = {\begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \frac{1}{2 z} & 0 < u < z \\ \frac{1}{2} δ_{z} (u) & u = z \\ 0 & u > z . \end{cases}

$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$

— whuber
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Primeiro, considere a distribuição do máximo condicional em . O máximo se torna igual a no caso em que com probabilidade condicional . Caso contrário, leva algum valor superior a igual a . A distribuição condicional geral será assim uma mistura entre uma massa pontual em (do tamanho u) e uma densidade uniforme em (integrando a ). Representando a massa pontual pela função delta Dirac, a função densidade de probabilidade generalizada (gpdf) dessa distribuição condicional é $Z$ $U=u$ $Z$ $u$ $V<u$ $u$ $Z$ $u$ $V$ $u$ $(u,1)$ $1-u$

f_{Z | U = u} (z) = u δ (z - u) + {\begin{cases} 1 & for u < z < 1 \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases}$ A gpdf conjunta de e é então O pdf do máximo é . Portanto, o gpdf condicional de dado o máximo de torna-se

Z

$Z$

U

$U$

\begin{aligned} f_{Z, U} (z, u) & = f_{Z | U = u} (z) f_{U} (u) \\ = u δ (z - u) + {\begin{cases} 1 & for 0 < u < z < 1 \\ 0 & otherwise . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases} \end{align}$

f_{Z} (z) = 2 z

$f_Z(z)=2z$

U

$U$

Z

$Z$

\begin{aligned} f_{U | Z = z} (u) & = \frac{f_{Z, U} (z, u)}{f_{Z} (z)} \\ = \frac{1}{2} δ (z - u) + {\begin{cases} \frac{1}{2 z} & for 0 < u < z \\ 0 & otherwise, \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases} \end{align}$

z

$z$ com probabilidade 1/2 e uma densidade uniforme em integrando a 1/2.

(0, z)

$(0,z)$

— Jarle Tufto
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Bem, +1 pela sua grande ajuda! Mas eu tenho um problema .. Eu não sei a função DIRAC DELTA. ... Então, isso pode ser feito sem ele?

— Qwerty

1

Eu não sei. Parece uma maneira conveniente de representar uma distribuição que é parte discreta e parte contínua. Um tópico em math.stackexchange tem algumas discussões adicionais.

— Jarle Tufto 27/08/16