Faz sentido que um efeito fixo seja aninhado em um aleatório, ou como codificar medidas repetidas em R (aov e lmer)?

Eu estive examinando essa visão geral das fórmulas lm / lmer R por @conjugateprior e fiquei confuso com a seguinte entrada:

Agora assuma que A é aleatório, mas B é fixo e B está aninhado em A.

aov(Y ~ B + Error(A/B), data=d)

Abaixo, a fórmula do modelo misto análogo lmer(Y ~ B + (1 | A:B), data=d) é fornecida para o mesmo caso.

Não entendo bem o que isso significa. Em um experimento em que os sujeitos são divididos em vários grupos, teríamos um fator aleatório (sujeitos) aninhado em um fator fixo (grupos). Mas como um fator fixo pode ser aninhado dentro de um fator aleatório? Algo corrigido aninhado em assuntos aleatórios? Isso é possível? Se não for possível, essas fórmulas R fazem sentido?

Esta visão geral é mencionado para ser parcialmente baseado na páginas de-projeto personalidade sobre como fazer análise de variância em R si com base neste tutorial sobre medidas repetidas em R . A seguir, é apresentado o exemplo a seguir para as medidas repetidas ANOVA:

aov(Recall ~ Valence + Error(Subject/Valence), data.ex3)

Aqui, os sujeitos são apresentados com palavras de valência variável (fator com três níveis) e o tempo de recuperação é medido. Cada sujeito é apresentado com palavras dos três níveis de valência. Não vejo nada aninhado neste design (ele parece cruzado, conforme a grande resposta aqui ), e, por isso, pensaria ingenuamente que Error(Subject)ou (1 | Subject)deveria ser um termo aleatório apropriado nesse caso. O Subject/Valence"aninhamento" (?) É confuso.

Note que eu entendo que esse Valenceé um fator dentro do assunto . Mas acho que não é um fator "aninhado" dentro dos sujeitos (porque todos os sujeitos experimentam os três níveis de Valence).

Atualizar. Estou explorando perguntas no CV sobre codificação de medidas repetidas ANOVA em R.

• Aqui, o seguinte é usado para medidas fixas dentro do sujeito / medidas repetidas A e aleatórias subject:

  summary(aov(Y ~ A + Error(subject/A), data = d))
  anova(lme(Y ~ A, random = ~1|subject, data = d))

• Aqui, para dois efeitos fixos de medidas repetidas / dentro do sujeito / A e B:

  summary(aov(Y ~ A*B + Error(subject/(A*B)), data=d))
  lmer(Y ~ A*B + (1|subject) + (1|A:subject) + (1|B:subject), data=d) 

• Aqui para três efeitos dentro do sujeito A, B e C:

  summary(aov(Y ~ A*B*C + Error(subject/(A*B*C)), data=d))
  lmer(Y ~ A*B*C + (1|subject) + (0+A|subject) + (0+B|subject) + (0+C|subject) + (0+A:B|subject) + (0+A:C|subject) + (0+B:C|subject), data = d)

Minhas perguntas:

1. Por que Error(subject/A)e não Error(subject)?
2. É (1|subject)ou (1|subject)+(1|A:subject)ou simplesmente (1|A:subject)?
3. É (1|subject) + (1|A:subject)ou (1|subject) + (0+A|subject), e por que não simplesmente (A|subject)?

Até agora, vi alguns tópicos que afirmam que algumas dessas coisas são equivalentes (por exemplo, a primeira: uma afirmação de que são iguais, mas uma afirmação oposta à SO ; a terceira: tipo de afirmação de que são iguais ). São eles?

Em modelos mistos, o tratamento de fatores fixos ou aleatórios, especialmente em conjunto com o fato de serem cruzados, parcialmente cruzados ou aninhados, pode levar a muita confusão. Além disso, parece haver diferenças na terminologia entre o que se entende por aninhamento no mundo dos experimentos anova / projetado e no mundo dos modelos mistos / multiníveis.

Não professo saber todas as respostas, e minha resposta não será completa (e poderá gerar mais perguntas), mas tentarei abordar alguns dos problemas aqui:

Faz sentido que um efeito fixo seja aninhado em um aleatório, ou como codificar medidas repetidas em R (aov e lmer)?

(o título da pergunta)

Não, não acredito que isso faça sentido. Quando estamos lidando com medidas repetidas, geralmente o que quer que seja que as medidas sejam repetidas será aleatório, vamos chamá-lo Subjecte lme4queremos incluir Subjecto lado direito de um ou mais |na parte aleatória do Fórmula. Se tivermos outros efeitos aleatórios, eles serão cruzados, parcialmente cruzados ou aninhados - e minha resposta a essa pergunta aborda isso.

O problema com esses experimentos projetados do tipo anova parece ser como lidar com fatores que normalmente seriam considerados fixos, em uma situação de medidas repetidas, e as perguntas no corpo do OP falam disso:

Por que erro (assunto / A) e não erro (assunto)?

Normalmente, eu não uso, aov()para que possa estar faltando alguma coisa, mas, para mim, isso Error(subject/A)é muito enganador no caso da pergunta vinculada . Error(subject)de fato, leva exatamente aos mesmos resultados.

É (1 | assunto) ou (1 | assunto) + (1 | A: assunto) ou simplesmente (1 | A: assunto)?

Isso está relacionado a esta questão. Nesse caso, todas as seguintes formulações de efeitos aleatórios levam exatamente ao mesmo resultado:

(1|subject)
(1|A:subject)
(1|subject) + (1|A:subject)
(1|subject) + (1|A:subject) + (1|B:subject)

No entanto, isso ocorre porque o conjunto de dados simulado na pergunta não tem variação dentro de nada, apenas foi criado com Y = rnorm(48). Se pegarmos um conjunto de dados real, como o cakeconjunto de dados em lme4, descobrimos que esse geralmente não será o caso. A partir da documentação, aqui está a configuração experimental:

Dados sobre o ângulo de ruptura de bolos de chocolate feitos com três receitas diferentes e assados ​​em seis temperaturas diferentes. Esse é um design de plotagem dividida, com as receitas sendo unidades inteiras e as diferentes temperaturas sendo aplicadas às subunidades (dentro de réplicas). As notas experimentais sugerem que a numeração replicada representa a ordem temporal.

Um quadro de dados com 270 observações nas 5 variáveis ​​a seguir.

replicate um fator com níveis 1 a 15

recipe um fator com os níveis A, B e C

temperature um fator ordenado com níveis 175 <185 <195 <205 <215 <225

temp valor numérico da temperatura de cozimento (graus F).

angle um vetor numérico que indica o ângulo em que o bolo se partiu.

Portanto, repetimos medidas internas replicatee também estamos interessados ​​nos fatores fixos recipee temperature(podemos ignorar, temppois essa é apenas uma codificação diferente de temperature), e podemos visualizar a situação usando xtabs:

> xtabs(~recipe+replicate,data=cake)

     replicate
recipe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
     A 6 6 6 6 6 6 6 6 6  6  6  6  6  6  6
     B 6 6 6 6 6 6 6 6 6  6  6  6  6  6  6
     C 6 6 6 6 6 6 6 6 6  6  6  6  6  6  6

Se recipehouvesse um efeito aleatório, diríamos que esses são efeitos aleatórios cruzados. De nenhuma maneira recipe Apertence a replicate 1ou qualquer outra réplica.

> xtabs(~temp+replicate,data=cake)

     replicate
temp  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
  175 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  185 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  195 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  205 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  215 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3
  225 3 3 3 3 3 3 3 3 3  3  3  3  3  3  3

Da mesma forma para temp.

Portanto, o primeiro modelo que podemos ajustar é:

> lmm1 <-  lmer(angle ~ recipe * temperature + (1|replicate), cake, REML= FALSE)

Isso tratará cada uma delas replicatecomo a única fonte de variação aleatória (exceto a residual, é claro). Mas pode haver diferenças aleatórias entre as receitas. Portanto, podemos ficar tentados a incluir recipecomo outro efeito aleatório (cruzado), mas isso seria desaconselhável, porque temos apenas três níveis, por recipeisso não podemos esperar que o modelo estime bem os componentes de variação. Então, em vez disso, podemos usar replicate:recipecomo a variável de agrupamento que nos permitirá tratar cada combinação de replicação e receita como um fator de agrupamento separado. Portanto, enquanto que no modelo acima teríamos 15 interceptações aleatórias para os níveis replicate, agora teremos 45 interceptações aleatórias para cada uma das combinações separadas:

lmm3 <-  lmer(angle ~ recipe * temperature + (1|replicate:recipe) , cake, REML= FALSE)

Observe que agora temos (muito pouco) resultados diferentes, indicando que há alguma variabilidade aleatória devido à receita, mas não muito.

Da mesma forma, poderíamos fazer a mesma coisa temperature.

Agora, voltando à sua pergunta, você também pergunta

Por que (1|subject) + (1|A:subject)e não (1|subject) + (0+A|subject)ou simplesmente (A|subject)?

Não sei bem de onde vem (usando inclinações aleatórias) - não parece surgir nas duas perguntas vinculadas -, mas o meu problema (1|subject) + (1|A:subject)é que isso é exatamente o mesmo (1|subject/A)que significa que Aestá aninhado dentro subject, que em turn significa (para mim) que cada nível de Aocorre em 1 e apenas 1 nível dos subjectquais claramente não é o caso aqui.

Provavelmente vou adicionar e / ou editar esta resposta depois de pensar um pouco mais, mas queria esclarecer meus pensamentos iniciais.

Ooooops. Os comentaristas de alertas descobriram que minha postagem estava cheia de bobagens. Eu estava confundindo designs aninhados e designs de medidas repetidas.

Este site fornece uma descrição útil da diferença entre os designs de medidas aninhadas e repetidas. Curiosamente, o autor mostra quadrados médios esperados para fixo dentro fixo, aleatório dentro fixo e aleatório dentro aleatório - mas não fixo dentro aleatório. É difícil imaginar o que isso significaria - se os fatores no nível A forem escolhidos aleatoriamente, a aleatoriedade agora governa a seleção dos fatores do nível B. Se 5 escolas são escolhidas aleatoriamente em um conselho escolar e 3 professores são escolhidos de cada escola (professores aninhados nas escolas), os níveis do fator "professor" agora são uma seleção aleatória de professores do conselho escolar em virtude da seleção aleatória de escolas. Não posso "consertar" os professores que terei no experimento.