Por que estamos usando uma fórmula de desvio padrão tendenciosa e enganosa para

Foi um choque para mim a primeira vez que fiz uma simulação de Monte Carlo de distribuição normal e descobri que a média de desvios padrão de amostras, todas com um tamanho de amostra de apenas , provou ser muito menos do que, ie, a média de vezes, o usado para gerar a população. No entanto, isso é bem conhecido, se raramente lembrado, e eu meio que sabia, ou não teria feito uma simulação. Aqui está uma simulação.$100$$100$$n=2$$\sqrt{\frac{2}{\pi }}$$\sigma$

Aqui está um exemplo para prever intervalos de confiança de 95% de usando 100, n = 2 , estimativas de \ text {SD} e \ text {E} (s_ {n = 2}) = \ sqrt \ frac {\ pi} {2} \ text {SD} .$N(0,1)$$n=2$$\text{SD}$$\text{E}(s_{n=2})=\sqrt\frac{\pi}{2}\text{SD}$

 RAND()   RAND()    Calc    Calc    
 N(0,1)   N(0,1)    SD      E(s)    
-1.1171  -0.0627    0.7455  0.9344  
 1.7278  -0.8016    1.7886  2.2417  
 1.3705  -1.3710    1.9385  2.4295  
 1.5648  -0.7156    1.6125  2.0209  
 1.2379   0.4896    0.5291  0.6632  
-1.8354   1.0531    2.0425  2.5599  
 1.0320  -0.3531    0.9794  1.2275  
 1.2021  -0.3631    1.1067  1.3871  
 1.3201  -1.1058    1.7154  2.1499  
-0.4946  -1.1428    0.4583  0.5744  
 0.9504  -1.0300    1.4003  1.7551  
-1.6001   0.5811    1.5423  1.9330  
-0.5153   0.8008    0.9306  1.1663  
-0.7106  -0.5577    0.1081  0.1354  
 0.1864   0.2581    0.0507  0.0635  
-0.8702  -0.1520    0.5078  0.6365  
-0.3862   0.4528    0.5933  0.7436  
-0.8531   0.1371    0.7002  0.8775  
-0.8786   0.2086    0.7687  0.9635  
 0.6431   0.7323    0.0631  0.0791  
 1.0368   0.3354    0.4959  0.6216  
-1.0619  -1.2663    0.1445  0.1811  
 0.0600  -0.2569    0.2241  0.2808  
-0.6840  -0.4787    0.1452  0.1820  
 0.2507   0.6593    0.2889  0.3620  
 0.1328  -0.1339    0.1886  0.2364  
-0.2118  -0.0100    0.1427  0.1788  
-0.7496  -1.1437    0.2786  0.3492  
 0.9017   0.0022    0.6361  0.7972  
 0.5560   0.8943    0.2393  0.2999  
-0.1483  -1.1324    0.6959  0.8721  
-1.3194  -0.3915    0.6562  0.8224  
-0.8098  -2.0478    0.8754  1.0971  
-0.3052  -1.1937    0.6282  0.7873  
 0.5170  -0.6323    0.8127  1.0186  
 0.6333  -1.3720    1.4180  1.7772  
-1.5503   0.7194    1.6049  2.0115  
 1.8986  -0.7427    1.8677  2.3408  
 2.3656  -0.3820    1.9428  2.4350  
-1.4987   0.4368    1.3686  1.7153  
-0.5064   1.3950    1.3444  1.6850  
 1.2508   0.6081    0.4545  0.5696  
-0.1696  -0.5459    0.2661  0.3335  
-0.3834  -0.8872    0.3562  0.4465  
 0.0300  -0.8531    0.6244  0.7826  
 0.4210   0.3356    0.0604  0.0757  
 0.0165   2.0690    1.4514  1.8190  
-0.2689   1.5595    1.2929  1.6204  
 1.3385   0.5087    0.5868  0.7354  
 1.1067   0.3987    0.5006  0.6275  
 2.0015  -0.6360    1.8650  2.3374  
-0.4504   0.6166    0.7545  0.9456  
 0.3197  -0.6227    0.6664  0.8352  
-1.2794  -0.9927    0.2027  0.2541  
 1.6603  -0.0543    1.2124  1.5195  
 0.9649  -1.2625    1.5750  1.9739  
-0.3380  -0.2459    0.0652  0.0817  
-0.8612   2.1456    2.1261  2.6647  
 0.4976  -1.0538    1.0970  1.3749  
-0.2007  -1.3870    0.8388  1.0513  
-0.9597   0.6327    1.1260  1.4112  
-2.6118  -0.1505    1.7404  2.1813  
 0.7155  -0.1909    0.6409  0.8033  
 0.0548  -0.2159    0.1914  0.2399  
-0.2775   0.4864    0.5402  0.6770  
-1.2364  -0.0736    0.8222  1.0305  
-0.8868  -0.6960    0.1349  0.1691  
 1.2804  -0.2276    1.0664  1.3365  
 0.5560  -0.9552    1.0686  1.3393  
 0.4643  -0.6173    0.7648  0.9585  
 0.4884  -0.6474    0.8031  1.0066  
 1.3860   0.5479    0.5926  0.7427  
-0.9313   0.5375    1.0386  1.3018  
-0.3466  -0.3809    0.0243  0.0304  
 0.7211  -0.1546    0.6192  0.7760  
-1.4551  -0.1350    0.9334  1.1699  
 0.0673   0.4291    0.2559  0.3207  
 0.3190  -0.1510    0.3323  0.4165  
-1.6514  -0.3824    0.8973  1.1246  
-1.0128  -1.5745    0.3972  0.4978  
-1.2337  -0.7164    0.3658  0.4585  
-1.7677  -1.9776    0.1484  0.1860  
-0.9519  -0.1155    0.5914  0.7412  
 1.1165  -0.6071    1.2188  1.5275  
-1.7772   0.7592    1.7935  2.2478  
 0.1343  -0.0458    0.1273  0.1596  
 0.2270   0.9698    0.5253  0.6583  
-0.1697  -0.5589    0.2752  0.3450  
 2.1011   0.2483    1.3101  1.6420  
-0.0374   0.2988    0.2377  0.2980  
-0.4209   0.5742    0.7037  0.8819  
 1.6728  -0.2046    1.3275  1.6638  
 1.4985  -1.6225    2.2069  2.7659  
 0.5342  -0.5074    0.7365  0.9231  
 0.7119   0.8128    0.0713  0.0894  
 1.0165  -1.2300    1.5885  1.9909  
-0.2646  -0.5301    0.1878  0.2353  
-1.1488  -0.2888    0.6081  0.7621  
-0.4225   0.8703    0.9141  1.1457  
 0.7990  -1.1515    1.3792  1.7286  

 0.0344  -0.1892    0.8188  1.0263  mean E(.)
                    SD pred E(s) pred   
-1.9600  -1.9600   -1.6049 -2.0114    2.5%  theor, est
 1.9600   1.9600    1.6049  2.0114   97.5%  theor, est
                    0.3551 -0.0515    2.5% err
                   -0.3551  0.0515   97.5% err

Arraste o controle deslizante para baixo para ver os totais gerais. Agora, usei o estimador SD comum para calcular intervalos de confiança de 95% em torno de uma média de zero, e eles são desativados em 0,33551 unidades de desvio padrão. O estimador E (s) está desativado por apenas 0,0515 unidades de desvio padrão. Se alguém estimar o desvio padrão, erro padrão da média ou estatística t, pode haver um problema.

Meu raciocínio foi o seguinte: a média da população, , de dois valores pode estar em qualquer lugar em relação a um e definitivamente não está localizada em , o que representa uma soma mínima possível possível ao quadrado para subestimarmos substancialmente , como seguex 1 x 1 + x $\mu$$x_1$$\frac{x_1+x_2}{2}$$\sigma$

wlog deixa , então é , o menor resultado possível.Σ n i = 1 ( x i - ˉ x ) 2 2 ( $x_2-x_1=d$$\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$2 (\frac{d}{2})^2=\frac{d^2}{2}$

Isso significa que o desvio padrão calculado como

$\text{SD}=\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$ ,

é um estimador enviesado do desvio padrão da população ( ). Observe que nessa fórmula diminuímos os graus de liberdade de por 1 e dividimos por , ou seja, fazemos alguma correção, mas é apenas assintoticamente correta, e seria uma regra de ouro melhor . No nosso exemplo a fórmula nos daria , um valor mínimo estatisticamente implausível como , onde um valor melhor do que o esperado ( ) serian n - 1 n - 3 / 2 x 2 - x 1 = d SD S D = $\sigma$$n$$n-1$$n-3/2$$x_2-x_1=d$$\text{SD}$u≠ˉxsE(s)=$SD=\frac{d}{\sqrt 2}\approx 0.707d$$\mu\neq \bar{x}$$s$n<10DPσn25n<25n=$E(s)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{d}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt\pi }{2}d\approx0.886d$. Para o cálculo usual, para , s sofre uma subestimação muito significativa chamada viés de número pequeno , que apenas se aproxima de 1% da subestimação de quando é aproximadamente . Como muitos experimentos biológicos têm , isso é realmente um problema. Para , o erro é de aproximadamente 25 partes em 100.000. Em geral, a correção do viés de número pequeno implica que o estimador imparcial do desvio padrão populacional de uma distribuição normal seja$n<10$$\text{SD}$$\sigma$$n$$25$$n<25$$n=1000$

$\text{E}(s)\,=\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{2}}>\text{SD}=\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}\; .$

Na Wikipedia, sob licença de creative commons, temos um gráfico de subestimação SD de$\sigma$

Como SD é um estimador tendencioso do desvio padrão populacional, ele não pode ser o estimador imparcial mínimo de variância MVUE do desvio padrão populacional, a menos que tenhamos prazer em dizer que é MVUE como , o que eu não sou.$n\rightarrow \infty$

Sobre distribuições não normais e aproximadamente imparcial, leia isso .$SD$

Agora vem a pergunta Q1

Pode-se provar que o acima é MVUE para de uma distribuição normal do tamanho da amostra , onde é um número inteiro positivo maior que um?σ n $\text{E}(s)$$\sigma$$n$$n$

Dica: (mas não a resposta) consulte Como posso encontrar o desvio padrão do desvio padrão da amostra de uma distribuição normal? .

Próxima pergunta, Q2

Alguém poderia me explicar por que estamos usando qualquer maneira, pois é claramente tendencioso e enganoso? Ou seja, por que não usar para quase tudo? $\text{SD}$$\text{E}(s)$Como complemento, ficou claro nas respostas abaixo que a variação é imparcial, mas sua raiz quadrada é tendenciosa. Eu pediria que as respostas abordassem a questão de quando o desvio padrão imparcial deve ser usado.

Como se vê, uma resposta parcial é que, para evitar viés na simulação acima, as variações poderiam ter sido calculadas em média, e não os valores de SD. Para ver o efeito disso, se quadrilharmos a coluna SD acima e calcularmos a média desses valores, obtemos 0,9994, cuja raiz quadrada é uma estimativa do desvio padrão 0,9996915 e cujo erro é de apenas 0,0006 para a cauda de 2,5% e -0.0006 para a cauda de 95%. Observe que isso ocorre porque as variações são aditivas, portanto, calculá-las é um procedimento de baixo erro. No entanto, os desvios padrão são enviesados ​​e, nos casos em que não temos o luxo de usar variações como intermediário, ainda precisamos de pequenas correções numéricas. Mesmo se pudermos usar a variação como intermediário, neste caso para$n=100$, a correção de amostra pequena sugere a multiplicação da raiz quadrada da variância imparcial 0,99996915 por 1,002528401 para fornecer 1,002219148 como uma estimativa imparcial do desvio padrão. Então, sim, podemos atrasar o uso da correção de números pequenos, mas devemos ignorá-la completamente?

A questão aqui é quando devemos usar a correção de números pequenos, em vez de ignorar seu uso, e predominantemente evitamos seu uso.

Aqui está outro exemplo: o número mínimo de pontos no espaço para estabelecer uma tendência linear com erro é três. Se ajustarmos esses pontos com mínimos quadrados comuns, o resultado para muitos desses ajustes é um padrão residual normal dobrado se houver não linearidade e metade normal se houver linearidade. No caso semi-normal, nossa média de distribuição requer pequena correção de número. Se tentarmos o mesmo truque com 4 ou mais pontos, a distribuição geralmente não será relacionada ou fácil de caracterizar. Podemos usar a variação para de alguma forma combinar esses resultados de 3 pontos? Talvez não. No entanto, é mais fácil conceber problemas em termos de distâncias e vetores.

Para a pergunta mais restrita

Por que uma fórmula de desvio padrão tendenciosa é normalmente usada?

a resposta simples

Porque a variação associada estimador de é imparcial. Não há justificativa matemática / estatística real.

pode ser preciso em muitos casos.

No entanto, este nem sempre é o caso. Há pelo menos dois aspectos importantes dessas questões que devem ser entendidos.

Primeiro, a variância amostral não é apenas imparcial para variáveis ​​aleatórias gaussianas. É imparcial para qualquer distribuição com variância finita σ 2 (como discutido abaixo, na minha resposta original). A pergunta observa que s não é imparcial para σ e sugere uma alternativa que não é imparcial para uma variável aleatória gaussiana. No entanto, é importante notar que, ao contrário da variância, para o desvio padrão é não$s^2$$\sigma^2$$s$$\sigma$ possível ter uma "distribuição gratuita" estimador (* ver nota abaixo).

Segundo, como mencionado no comentário do whuber, o fato de que é tendencioso não afeta o "teste t" padrão. Primeiro, observe que, para uma variável gaussiana x , se estimarmos os escores z de uma amostra { x i } como z i = x i - $s$$x$$\{x_i\}$

$$z_i=\frac{x_i-\mu}{\sigma}\approx\frac{x_i-\bar{x}}{s}$$ então eles serão tendenciosos.

No entanto, a estatística t é normalmente usada no contexto da distribuição amostral de . Nesse caso, o escore z seria z ˉ x = ˉ x - $\bar{x}$ embora não possamos calcular nemznemt, pois não sabemosμ. No entanto, se aestatísticaz ˉ x for normal, aestatísticatseguirá uma distribuição de Student-t. Esta não é uma larganaproximação. A única suposição é que

$$z_{\bar{x}}=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma_{\bar{x}}}\approx\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=t$$ $z$$t$$\mu$$z_{\bar{x}}$$t$$n$$x$ amostras são i Gaussianas.

(Normalmente o t-teste é aplicada de forma mais ampla para, possivelmente, não-Gaussiana . Este não confiar em larga n , que pelo limite central teorema garante que ˉ x ainda vai ser Gaussiana.)$x$$n$$\bar{x}$

---

* Esclarecimento sobre "estimador imparcial e livre de distribuição"

Por "distribuição livre", quero dizer que o estimador não pode depender de nenhuma informação sobre a população além da amostra { x 1 , … , x n } . Por "imparcial" Quero dizer que o erro esperado E [ θ n ] - θ é uniformemente zero, independente do tamanho da amostra n . (Ao contrário de um estimador que é meramente assintoticamente imparcial, também conhecido como " consistente ", para o qual o viés desaparece como n → ∞ .)$x$$\{x_1,\ldots,x_n\}$$\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]-\theta$$n$$n\to\infty$

Nos comentários, isso foi dado como um possível exemplo de um "estimador imparcial sem distribuição". Abstraindo de um bit, isto é estimador da forma σ = f [ s , n , κ x ] , onde κ x é o excesso de curtose de x . Este estimador não é "livre de distribuição", pois κ x depende da distribuição de x . O estimador é dito para satisfazer E [ σ ] - σ x = O [ 1$\hat{\sigma}=f[s,n,\kappa_x]$$\kappa_x$$x$$\kappa_x$$x$, ondeσ 2 x é a variação dex. Portanto, o estimador é consistente, mas não (absolutamente) "imparcial", comoO[$\mathbb{E}[\hat{\sigma}]-\sigma_x=\mathrm{O}[\frac{1}{n}]$$\sigma_x^2$$x$pode ser arbitrariamente grande paranpequeno.$\mathrm{O}[\frac{1}{n}]$$n$

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Nota: Abaixo está minha "resposta" original. Daqui em diante, os comentários são sobre a média e variância padrão da "amostra", que são estimadores imparciais "livres de distribuição" (ou seja, não se supõe que a população seja gaussiana).

Esta não é uma resposta completa, mas um esclarecimento sobre o motivo pelo qual a fórmula de variação da amostra é comumente usada.

Dada uma amostra aleatória , desde que as variáveis ​​tenham uma média comum, o estimador ˉ x = $\{x_1,\ldots,x_n\}$seráimparcial, ie E[xi]=$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_ix_i$

$$\mathbb{E}[x_i]=\mu \implies \mathbb{E}[\bar{x}]=\mu$$

Se as variáveis ​​também tiverem uma variância finita comum e não estiverem correlacionadas , o estimador irátambémser neutro, ou seja, E[xixj]-μ2={ σ 2 i = j 0 i ≠ $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_i(x_i-\bar{x})^2$ Observe que a imparcialidade desses estimadores dependeapenasdas suposições acima (e dalinearidadeda expectativa; a prova é apenas álgebra). O resultadonãodepende de nenhuma distribuição específica, como gaussiana. As variáveis x i quenãotem que ter uma distribuição comum, e eles nem sequer tem que serindependente(ou seja, a amostra não tem que seriid

$$\mathbb{E}[x_ix_j]-\mu^2=\begin{cases}\sigma^2&i=j\\0&i\neq{j}\end{cases} \implies \mathbb{E}[s^2]=\sigma^2$$ $x_i$ ).

O "desvio padrão da amostra" não é um estimador imparcial, s ≠ σ , mas, no entanto, é comumente usado. Meu palpite é que isso é simplesmente porque é a raiz quadrada da variação imparcial da amostra. (Sem justificativa mais sofisticada.)$s$$\mathbb{s}\neq\sigma$

No caso de uma amostra de Gauss iid, as estimativas de probabilidade máxima (MLE) dos parâmetros são μ M G E = ˉ x e ( σ 2 ) M G E = n - 1$\hat{\mu}_\mathrm{MLE}=\bar{x}$, ou seja, a variação divide-se porn emvez den2. Além disso, no caso gaidiano do iid, o desvio padrão MLE é apenas a raiz quadrada da variação do MLE. No entanto, essas fórmulas, assim como a sugerida em sua pergunta, dependem da suposição gaussiana de id.$(\hat{\sigma}^2)_\mathrm{MLE}=\frac{n-1}{n}s^2$$n$$n^2$

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Atualização: esclarecimentos adicionais sobre "tendencioso" vs. "imparcial".

Considere uma amostra de elemento como acima, X = { x 1 , … , x n } , com desvio do quadrado da soma δ 2 n = ∑ i ( x i - ˉ x ) 2 Dadas as premissas descritas na primeira parte acima , temos necessariamente E [ δ 2 n ] = ( n - 1 ) σ 2, de modo que o estimador de MLE (Gaussiano) é tendencioso ^ σ $n$$X=\{x_1,\ldots,x_n\}$

$$\delta^2_n=\sum_i(x_i-\bar{x})^2$$ $$\mathbb{E}[\delta^2_n]=(n-1)\sigma^2$$ enquanto o estimador de "variância amostral" é imparcial s 2 n = $$\widehat{\sigma^2_n}=\tfrac{1}{n}\delta^2_n \implies \mathbb{E}[\widehat{\sigma^2_n}]=\tfrac{n-1}{n}\sigma^2$$ $$s^2_n=\tfrac{1}{n-1}\delta^2_n \implies \mathbb{E}[s^2_n]=\sigma^2$$

Agora é verdade que se torna menos tendencioso à medida que o tamanho da amostra n aumenta. No entanto, s 2 n tem um viés zero, independentemente do tamanho da amostra (contanto que n > 1 ). Para ambos os estimadores, a variação de sua distribuição amostral será diferente de zero e dependerá de n .$\widehat{\sigma^2_n}$$n$$s^2_n$$n>1$$n$

Como exemplo, o código Matlab abaixo considera um experimento com amostras de uma população normal normal z . Para estimar as distribuições de amostragem para ˉ x , ^ σ 2 , s 2 , o experimento é repetido N = 10 6 vezes. (Você pode recortar e colar o código aqui para experimentá-lo.)$n=2$$z$$\bar{x},\widehat{\sigma^2},s^2$$N=10^6$

% n=sample size, N=number of samples
n=2; N=1e6;
% generate standard-normal random #'s
z=randn(n,N); % i.e. mu=0, sigma=1
% compute sample stats (Gaussian MLE)
zbar=sum(z)/n; zvar_mle=sum((z-zbar).^2)/n;
% compute ensemble stats (sampling-pdf means)
zbar_avg=sum(zbar)/N, zvar_mle_avg=sum(zvar_mle)/N
% compute unbiased variance
zvar_avg=zvar_mle_avg*n/(n-1)

Saída típica é como

zbar_avg     =  1.4442e-04
zvar_mle_avg =  0.49988
zvar_avg     =  0.99977

confirmando que

$$\begin{align} \mathbb{E}[\bar{z}]&\approx\overline{(\bar{z})}\approx\mu=0 \\ \mathbb{E}[s^2]&\approx\overline{(s^2)}\approx\sigma^2=1 \\ \mathbb{E}[\widehat{\sigma^2}]&\approx\overline{(\widehat{\sigma^2})}\approx\frac{n-1}{n}\sigma^2=\frac{1}{2} \end{align}$$

---

Atualização 2: Nota sobre a natureza fundamentalmente "algébrica" ​​da imparcialidade.

Na demonstração numérica acima, o código aproxima a expectativa verdadeira usando uma média de conjunto com N = 10 6 repetições do experimento (ou seja, cada uma é uma amostra de tamanho n = 2 ). Mesmo com esse grande número, os resultados típicos citados acima estão longe de serem exatos.$\mathbb{E}[\,]$$N=10^6$$n=2$

Para demonstrar numericamente que os estimadores são realmente imparciais, podemos usar um truque simples para aproximar o caso : basta adicionar a seguinte linha ao código$N\to\infty$

% optional: "whiten" data (ensure exact ensemble stats)
[U,S,V]=svd(z-mean(z,2),'econ'); z=sqrt(N)*U*V';

(depois de "gerar # aleatórios normais-padrão" e antes de "calcular estatísticas de amostra")

Com essa mudança simples, mesmo executando o código com obtém resultados como$N=10$

zbar_avg     =  1.1102e-17
zvar_mle_avg =  0.50000
zvar_avg     =  1.00000

O desvio padrão da amostra é completo e suficiente paraσ, demodo que o conjunto de estimadores imparciais deσk,dado por$S=\sqrt{\frac{\sum (X - \bar{X})^2}{n-1}}$$\sigma$$\sigma^k$

$$\frac{(n-1)^\frac{k}{2}}{2^\frac{k}{2}} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+k-1}{2}\right)} \cdot S^k = \frac{S^k}{c_k}$$

(Consulte Por que o desvio padrão da amostra é um estimador enviesado de ?$\sigma$ ) São, pelo teorema de Lehmann – Scheffé, UMVUE. Consistente, embora inclinado, estimadores de pode também ser formado como$\sigma^k$

$$\tilde{\sigma}^k_j= \left(\frac{S^j}{c_j}\right)^\frac{k}{j}$$

(the unbiased estimators being specified when $j=k$). The bias of each is given by

$$\operatorname{E}\tilde{\sigma}^k_j - \sigma^k =\left( \frac{c_k}{c_j^\frac{k}{j}} -1 \right) \sigma^k$$

& its variance by

$$\operatorname{Var}\tilde{\sigma}^{k}_j=\operatorname{E}\tilde{\sigma}^{2k}_j - \left(\operatorname{E}\tilde{\sigma}^k_j\right)^2=\frac{c_{2k}-c_k^2}{c_j^\frac{2k}{j}} \sigma^{2k}$$

For the two estimators of $\sigma$ you've considered, $\tilde{\sigma}^1_1=\frac{S}{c_1}$ & $\tilde{\sigma}^1_2=S$, the lack of bias of $\tilde{\sigma}_1$ is more than offset by its larger variance when compared to $\tilde{\sigma}_2$:

$$\begin{align} \operatorname{E}\tilde{\sigma}_1 - \sigma &= 0 \\ \operatorname{E}\tilde{\sigma}_2 - \sigma &=(c_1 -1) \sigma \\ \operatorname{Var}\tilde{\sigma}_1 =\operatorname{E}\tilde{\sigma}^{2}_1 - \left(\operatorname{E}\tilde{\sigma}^1_1\right)^2 &=\frac{c_{2}-c_1^2}{c_1^2} \sigma^{2} = \left(\frac{1}{c_1^2}-1\right) \sigma^2 \\ \operatorname{Var}\tilde{\sigma}_2 =\operatorname{E}\tilde{\sigma}^{2}_1 - \left(\operatorname{E}\tilde{\sigma}_2\right)^2 &=\frac{c_{2}-c_1^2}{c_2} \sigma^{2}=(1-c_1^2)\sigma^2 \end{align}$$ (Note that $c_2=1$, as $S^2$ is already an unbiased estimator of $\sigma^2$.)

The mean square error of $a_k S^k$ as an estimator of $\sigma^2$ is given by

$$\begin{align} (\operatorname{E} a_k S^k - \sigma^k)^2 + \operatorname{E} (a_k S^k)^2 - (\operatorname{E} a_k S^k)^2 &= [ (a_k c_k -1)^2 + a_k^2 c_{2k} - a_k^2 c_k^2 ] \sigma^{2k}\\ &= ( a_k^2 c_{2k} -2 a_k c_k + 1 ) \sigma^{2k} \end{align}$$

& therefore minimized when

$$a_k = \frac{c_k}{c_{2k}}$$

, allowing the definition of another set of estimators of potential interest:

$$\hat{\sigma}^k_j= \left(\frac{c_j S^j}{c_{2j}}\right)^\frac{k}{j}$$

Curiously, $\hat{\sigma}^1_1=c_1S$, so the same constant that divides $S$ to remove bias multiplies $S$ to reduce MSE. Anyway, these are the uniformly minimum variance location-invariant & scale-equivariant estimators of $\sigma^k$ (you don't want your estimate to change at all if you measure in kelvins rather than degrees Celsius, & you want it to change by a factor of $\left(\frac{9}{5}\right)^k$ if you measure in Fahrenheit).

None of the above has any bearing on the construction of hypothesis tests or confidence intervals (see e.g. Why does this excerpt say that unbiased estimation of standard deviation usually isn't relevant?). And $\tilde{\sigma}^k_j$ & $\hat{\sigma}^k_j$ exhaust neither estimators nor parameter scales of potential interest—consider the maximum-likelihood estimator^† $\sqrt{\frac{n-1}{n}}S$, or the median-unbiased estimator $\sqrt{\frac{n-1}{\chi^2_{n-1}(0.5)}}S$; or the geometric standard deviation of a lognormal distribution $\mathrm{e}^\sigma$. It may be worth showing a few more-or-less popular estimates made from a small sample ($n=2$) together with the upper & lower bounds, $\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1}(\alpha)}}$ & $\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1}(1-\alpha)}}$, of the equal-tailed confidence interval having coverage $1-\alpha$:

The span between the most divergent estimates is negligible in comparison with the width of any confidence interval having decent coverage. (The 95% C.I., for instance, is $(0.45s,31.9s)$.) There's no sense in being finicky about the properties of a point estimator unless you're prepared to be fairly explicit about what you want you want to use it for—most explicitly you can define a custom loss function for a particular application. A reason you might prefer an exactly (or almost) unbiased estimator is that you're going to use it in subsequent calculations during which you don't want bias to accumulate: your illustration of averaging biased estimates of standard deviation is a simple example of such (a more complex example might be using them as a response in a linear regression). In principle an all-encompassing model should obviate the need for unbiased estimates as an intermediate step, but might be considerably more tricky to specify & fit.

† The value of $\sigma$ that makes the observed data most probable has an appeal as an estimate independent of consideration of its sampling distribution.

Q2: Would someone please explain to me why we are using SD anyway as it is clearly biased and misleading?

This came up as an aside in comments, but I think it bears repeating because it's the crux of the answer:

The sample variance formula is unbiased, and variances are additive. So if you expect to do any (affine) transformations, this is a serious statistical reason why you should insist on a "nice" variance estimator over a "nice" SD estimator.

In an ideal world, they'd be equivalent. But that's not true in this universe. You have to choose one, so you might as well choose the one that lets you combine information down the road.

Comparing two sample means? The variance of their difference is sum of their variances.
Doing a linear contrast with several terms? Get its variance by taking a linear combination of their variances.
Looking at regression line fits? Get their variance using the variance-covariance matrix of your estimated beta coefficients.
Using F-tests, or t-tests, or t-based confidence intervals? The F-test calls for variances directly; and the t-test is exactly equivalent to the square root of an F-test.

In each of these common scenarios, if you start with unbiased variances, you'll remain unbiased all the way (unless your final step converts to SDs for reporting).
Meanwhile, if you'd started with unbiased SDs, neither your intermediate steps nor the final outcome would be unbiased anyway.

This post is in outline form.

(1) Taking a square root is not an affine transformation (Credit @Scortchi.)

(2) ${\rm var}(s) = {\rm E} (s^2) - {\rm E}(s)^2$, thus ${\rm E}(s) = \sqrt{{\rm E}(s^2) -{\rm var}(s)}\neq{\sqrt{\rm var(s)}}$

(3) ${\rm var}(s)=\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$, whereas $\text{E}(s)\,=\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{2}}$$\neq\sqrt{\frac{\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}={\sqrt{\rm var(s)}}$

(4) Thus, we cannot substitute ${\sqrt{\rm var(s)}}$ for $\text{E}(s)$, for $n$ small, as square root is not affine.

(5) ${\rm var}(s)$ and $\text{E}(s)$ are unbiased (Credit @GeoMatt22 and @Macro, respectively).

(6) For non-normal distributions $\bar{x}$ is sometimes (a) undefined (e.g., Cauchy, Pareto with small $\alpha$) and (b) not UMVUE (e.g., Cauchy ($\rightarrow$ Student's-$t$ with $df=1$), Pareto, Uniform, beta). Even more commonly, variance may be undefined, e.g. Student's-$t$ with $1\leq df\leq2$. Then one can state that $\text{var}(s)$ is not UMVUE for the general case distribution. Thus, there is then no special onus to introducing an approximate small number correction for standard deviation, which likely has similar limitations to $\sqrt{\text{var}(s)}$, but is additionally less biased, $\hat\sigma = \sqrt{ \frac{1}{n - 1.5 - \tfrac14 \gamma_2} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 }$ ,

where $\gamma_2$ is excess kurtosis. In a similar vein, when examining a normal squared distribution (a Chi-squared with $df=1$ transform), we might be tempted to take its square root and use the resulting normal distribution properties. That is, in general, the normal distribution can result from transformations of other distributions and it may be expedient to examine the properties of that normal distribution such that the limitation of small number correction to the normal case is not so severe a restriction as one might at first assume.

For the normal distribution case:

A1: By Lehmann-Scheffe theorem ${\rm var}(s)$ and $\text{E}(s)$ are UMVUE (Credit @Scortchi).

A2: (Edited to adjust for comments below.) For $n\leq 25$, we should use $\text{E}(s)$ for standard deviation, standard error, confidence intervals of the mean and of the distribution, and optionally for z-statistics. For $t$-testing we would not use the unbiased estimator as $\frac{ \bar X - \mu} {\sqrt{\text{var}(n)/n}}$ itself is Student's-$t$ distributed with $n-1$ degrees of freedom (Credit @whuber and @GeoMatt22). For z-statistics, $\sigma$ is usually approximated using $n$ large for which $\text{E}(s)-\sqrt{\text{var}(n)}$ is small, but for which $\text{E}(s)$ appears to be more mathematically appropriate (Credit @whuber and @GeoMatt22).

I want to add the Bayesian answer to this discussion. Just because your assumption is that the data is generated according to some normal with unknown mean and variance, that doesn't mean that you should summarize your data using a mean and a variance. This whole problem can be avoided if you draw the model, which will have a posterior predictive that is a three parameter noncentral scaled student's T distribution. The three parameters are the total of the samples, total of the squared samples, and the number of samples. (Or any bijective map of these.)

Incidentally, I like civilstat's answer because it highlights our desire to combine information. The three sufficient statistics above are even better than the two given in the question (or by civilstat's answer). Two sets of these statistics can easily be combined, and they give the best posterior predictive given the assumption of normality.