Estatística completa de

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Gostaria de saber se a estatística está concluída para em uma configuração .

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}

$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$

σ^{2}

$\sigma^2$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^2)$

Isso depende se é previamente conhecido ou não? Se estiver completo para , então por Lehmann-Scheffé é UMVUE . Mas se fosse conhecido, poderíamos considerar cuja variação é igual a Cramer-Rao ligou e é estritamente menor que , portanto, não poderia ser UMVUE. $\mu$ $T$ $\sigma^2$ $\mu$

W (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2}}{n},

$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$

2 σ^{4} / n

$2\sigma^4/n$

2 σ^{4} / (n - 1) = Var [T]

$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$

T

$T$

— user39756
fonte

Talvez você concorde comigo que T não é imparcial quando mu é conhecido.

— Michael R. Chernick

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@MichaelChernick Você não tem em geral que ?

E [T] = σ^{2}

$E[T]=\sigma^2$

— user39756

Desculpe, você está certo. T tem a média da amostra usada na fórmula. Eu estava pensando em W.

— Michael R. Chernick

1

Dica : Você verificou se é suficiente no caso em que é conhecido?

T

$T$

μ

$\mu$

— cardeal

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Eu acho que resolvi minha própria pergunta. Comentários sobre esta resposta e novas respostas são bem-vindos.

Se são observações em uma população e é desconhecido , então $x_1,\ldots,x_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $\mu$ (isso mostra que a família normal é uma família exponencial). Como a imagem do mapa

f (x_{1}, \dots, x_{n} | μ, σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{n μ^{2}}{2 σ^{2}}} e^{\frac{μ}{σ^{2}} \sum_{Eu = 1}^{n} x_{Eu} - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{Eu = 1}^{n} x_{Eu}^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$

contém um conjunto aberto de

, por um teorema (por exemplo, ver página 6aqui), a estatística

é suficiente e completo para

. Como

é uma função de

e está centralizado para

, por Lehmann-Scheffé

é UMVUE para

(μ, σ^{2}) \in R \times R^{+} \mapsto (\frac{μ}{σ^{2}}, - \frac{1}{2 σ^{2}})

$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

U = (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2})

$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$

(μ, σ^{2})

$(\mu,\sigma^2)$

T

$T$

U

$U$

σ^{2}

$\sigma^2$

T

$T$

.

σ^{2}

$\sigma^2$

$\mu=\mu_0$ $\mu$

f (x_{1}, \dots, x_{n} | σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{Eu = 1}^{n} (x_{Eu} - μ_{0 0})^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$

σ^{2} \in R^{+} \mapsto - \frac{1}{2 σ^{2}}

$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$

R

$\mathbb{R}$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

— user39756
fonte

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$T(X_{1},\ldots,X_{n})$ $\bar{X}$ $\mu$ $\mu$ $W(X_{1},\ldots,X_{n})$ $W$ $T$ $\mu$ $W$

— Ed P
fonte

W

$W$

T

$T$

μ

$\mu$

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Eu tenho procurado na net refrescando minha memória no Teorema de Lehmann-Scheffe e Rao-Blackwell. Concordo com o OP de que a resposta pode ser que T não é uma estatística completa suficiente quando mu é conhecido. Eu acho que pode ser que o espaço do parâmetro seja alterado.

— Michael R. Chernick