Qual é a distribuição da soma das variáveis aleatórias qui-quadrado ao quadrado?

Qual seria a distribuição da seguinte equação:

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

onde e são variáveis aleatórias qui-quadrado independentes não centrais com graus de liberdade. $a$ $d$ $2 \textbf{M}$

OBS .: Os rv que geram e têm e , digamos . $a$ $d$ $\mu = 0$ $\sigma^2 \neq 1$ $\sigma^2 = c$

distributions chi-squared pdf

— Felipe Augusto de Figueiredo
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1. Como estão relacionados e ? 2. As variáveis aleatórias do qui-quadrado já possuem média> 0 Por que você precisaria declará-lo explicitamente? (Ou você está tentando se referir a um qui-quadrado não central?)

a

$a$

d

$d$

— Glen_b -Reinstata Monica 27/12/16

Acabei de adicionar mais algumas informações à pergunta. Eles são RVs qui-quadrados não centrais, pois foram gerados por variáveis aleatórias gaussianas complexas simétricas circulares não-padrão.

— Felipe Augusto de Figueiredo

2M é o grau de liberdade de cada um dos dois?

— Alecos Papadopoulos

Felipe, na sua pergunta você indicar e fazer "tem ", mas agora em sua mais recente comentário que afirmam que não têm essa propriedade. Qual é??

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

— whuber

Obrigado por tentar explicar, mas ainda não consigo entender. Onde você escreve " e são variáveis aleatórias qui-quadrado independentes e não centrais", parece que você está somando quadrados de variáveis aleatórias normais que têm médias diferentes de zero, porque é assim que as variáveis qui-quadrado não centrais geralmente surgem. Porém, mais tarde, sua gravação "O rv está gerando e tem ", o que sugere que você está trabalhando com variáveis centrais do qui-quadrado. Eu suspeito que essas são as inconsistências que levaram ao comentário inicial de @Glen_b. Você poderia mostrar explicitamente o que e

a

$a$

d

$d$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

a

$a$

d

$d$ estamos?

— whuber

Respostas:

Se forem independentes, então terá . Como é não negativo, CDF de pode ser encontrado anotandoPortanto, $a, d\sim\chi^2_{2M}$ $X=a+d$ $\chi^2_{4M}$ $X$ $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Se e estão correlacionados, as coisas são muito mais complexas. Veja, por exemplo, a função de distribuição cumulativa de NH Gordon e PF Ramig da soma das variáveis aleatórias qui-quadrado correlacionadas (1983) para obter uma definição de qui-quadrado multivariado e distribuição de sua soma. $a$ $d$

Se , você estará lidando com um qui-quadrado não central, para que o exposto acima não seja mais válido. Esta postagem pode fornecer algumas dicas. $\mu\neq 2M$

EDIT: Com base nas novas informações, parece que e são formados pela soma de rv normal com variação não unitária. Lembre-se se então . Como agora ambos terão distribuição qui-quadrado escalada por , isto é, distribuição . Nesse caso, será distribuído. Como resultado, para , temos $a$ $d$ $Z\sim N(0, 1)$ $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$

a, d

$a,d$

c

$c$

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$

X = a + d

$X=a+d$

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

— Francis
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Como o mu entra? Supõe-se que seja a média de uma das variáveis qui-quadrado? Eu suspeito que não tem nada a ver com o problema.

— Michael R. Chernick

@ MichaelChernick: provavelmente significa que pode ser qui-quadrado não central?

a, d

$a, d$

— Francis

Suponho que você possa fazer essa suposição, mas o OP não faz nenhuma conexão. Eu acho que você adotou a abordagem correta, o não central não pôde entrar nesse problema. X é o quadrado de um qui-quadrado aqui. No caso de independência que você usou aqui, como é chamada essa distribuição?

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick Não tenho certeza se existe um nome especial associado à distribuição. "chi-tesseracted" talvez?

— 27416 Francis

a

$a$ e são qui-quadrado não centrais.

d

$d$

— Felipe Augusto de Figueiredo

Como um qui-quadrado não central é uma soma de rv independentes, então a soma de dois qui-quadrados não centrais independentes também é um qui-quadrado não central com parâmetros que soma os parâmetros correspondentes de os dois componentes, (graus de liberdade), (parâmetro sem centralidade). $X = a+b$ $k_x = k_a+k_b$ $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$

Para obter a função de distribuição de seu quadrado , pode-se aplicar o "método CDF" (como na resposta @francis), $Y =X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

e onde

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

tão

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

onde aqui é a função Q de Marcum . $Q$

O acima descrito aplica-se a qui-quadrados não centrais formados como somas de normais quadrados independentes, cada um com variação unitária mas média diferente.

ADENDO RESPONDIDO À EDIÇÃO DA PERGUNTA

Se os rv de base forem , então o quadrado de cada um é uma consulte https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 . $N(0,c)$ $Gamma (1/2,2c)$

Portanto, o rv e também (parametrização em escala de forma e consulte o artigo da wikipedia para obter mais informações). propriedades aditivas para Gamma). $a \sim Gamma (M, 2c)$ $b \sim Gamma (M, 2c)$ $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$

Então, pode-se aplicar novamente o método CDF para encontrar o CDF do quadrado $Y = X^2$

— Alecos Papadopoulos
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@FelipeAugustodeFigueiredo Desculpe, eu não estou familiarizado com rv's complexos. Minha resposta tomou como dado o fato de começarmos a partir de quadrados não centrais.

— Alecos Papadopoulos

E se os rvs forem variáveis aleatórias gaussianas complexas simétricas circulares com e ?

μ = 0

$\mu = 0$

σ = c I

$\sigma = cI$

— Felipe Augusto de Figueiredo

vamos esquecer RV complexos. E se os rvs gerando e são gaussianos com e ? Todos os rv gaussianos têm a mesma variação, vamos chamá-lo .

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu = 0$

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$

c

$c$

— Felipe Augusto de Figueiredo

você poderia me ajudar com a seguinte pergunta: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Qualquer dica seria muito apreciada. Obrigado!

— Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo Acho que não tenho algo a oferecer para essa pergunta.

— Alecos Papadopoulos

Qual é a distribuição da soma das variáveis ​​aleatórias qui-quadrado ao quadrado?

Qual é a distribuição da soma das variáveis aleatórias qui-quadrado ao quadrado?