Como o ângulo de elevação esférico é distribuído quando são escolhidos de maneira uniforme e normal?

Como acompanhamento de Como a coordenada polar, , é distribuída quando e se ?$\theta$$(x,y) \sim U(-1,1) \times U(-1,1)$$(x,y) \sim N(0,1)\times N(0,1)$

Suponha como são distribuídos e ?$(x,y,z) \sim U(-10,10) \times U(-10,10) \times U(-10,10)$$\theta$$\phi$

É claramente das maravilhosas respostas da pergunta anterior que parece com isso: $\theta$

Mas por que o não obtém a máxima probabilidade em ?$\phi$$\phi = \pi/4$

Se selecionarmos normalmente na forma de distribuição, obteremos estes 2 pdfs:$x,y,z$

Existe um nome para distribuições e nos dois casos? Para mim, parece com distribuição no intervalo .$\theta$$\phi$$\beta$$[-90,90]$

Na minha discussão aqui, estou assumindo que é efetivamente uma longitude e é efetivamente uma latitude. Talvez as coordenadas esféricas mais típicas usem um ângulo abaixo do pólo norte, e não acima do equador, e troquem os papéis dos dois símbolos a partir disso - mas não há problema em lidar com isso de qualquer maneira, então vou ficar com o que sua notação parece ser.$\theta$$\phi$

Observe que a distribuição do raio não é de interesse aqui, apenas os ângulos, para que possamos projetar tudo em uma esfera unitária sem alterar os ângulos. Isso é bastante útil no caso normal.

Com uma distribuição esférica simétrica como o padrão tridimensional normal, a aparência da distribuição da inclinação tem a ver com o fato de que há muito mais área na superfície de uma esfera perto do equador do que perto dos pólos.

Se você seguir a matemática (ou escrever um argumento geométrico em termos de elementos de probabilidade semelhantes à questão 2D anterior), poderá entender que a inclinação deve ter uma densidade proporcional a . Aqui está um argumento geométrico que deve motivá-lo nos termos "elementos da probabilidade":$\cos(\phi)$

Como o raio no equador é 1 e o raio na latitude é , a circunferência na latitude é proporcional a e, portanto, a densidade em é proporcional a .$\phi$$\cos(\phi)$$\phi$$\cos(\phi)$$\phi$$\cos(\phi)$

Caixa uniforme : com o uniforme 3D normalizado para raio constante, você não tem uniformidade de densidade na esfera pelo mesmo motivo que não possuímos no caso 2D - quando você projeta na esfera, há muito mais " densidade "na esfera próxima aos ângulos onde estão os cantos do que onde estão os lados (com partes próximas ao meio das bordas no meio) - porque há mais volume do cubo para ângulos próximos aos cantos do que para ângulos perto do meio dos rostos.

Podemos ver isso gerando muitos valores aleatórios uniformemente no cubo e projetando-os na esfera. Como há mais volume perto dos cantos do que perto das faces do cubo, há uma densidade maior olhando "para dentro" pelos cantos do que pelas faces. Se traçarmos a altura (lembre-se de que esse é um valor-z projetado, , em que ) acima do equador em relação à longitude, obtemos o gráfico superior abaixo:$z^* = z/r$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Essa altura corresponde ao lado vertical do triângulo retângulo no diagrama anterior; essa altura é o de ( ). Para converter isso em latitude ( ), pegaríamos o arco da altura vertical projetada, que é o que vemos no gráfico inferior. Isso "estica" as coisas mais à medida que nos aproximamos do polo, fazendo com que a densidade em função da latitude caia para 0 no polo norte e sul (tanto para o caso uniforme quanto para o normal).$\sin$$\phi$$z^*=\sin(\phi)$$\phi$

A densidade para será então a integral dessa densidade bivariada sobre .$\phi$$\theta$

Observar o marginal para (ou seja, faixas descendo com valores fixos de ) quatro picos na densidade de como você observa - na verdade, isso segue diretamente do caso 2D, mas, como agora vemos, ele também cria um par de picos na densidade de do equador, correspondendo a uma região na superfície da esfera unitária onde os cantos e as bordas superior / inferior do cubo se projetam.$\theta$$\theta$$\theta$$\phi$

A distribuição cumulativa complementar para a latitude esférica oferece a chance de um ponto aleatório no cubo estar acima do cone que representa graficamente a função . Como esses pontos são distribuídos uniformemente por todo o cubo (que tem um volume de ), essa chance é de 1/8 do volume entre o cone e a parte superior do cubo. Quando a latitude excede , esse volume é o de um cone direito com altura e base , igual a$\phi$$[-1,1]^3$$z = \cot(\phi)\sqrt{x^2+y^2}$$8$$\pi/4$$1$$\cot(\phi)$

Veja os dois gráficos à direita na figura.

Quando a latitude é menor que , esse é o volume da interseção de um cone semi-infinito e do cubo. Uma integração em coordenadas polares dá a expressão$\arctan(1/\sqrt{2})$

Veja os dois gráficos mais à esquerda na figura.

As derivadas negativas dessas expressões dão a densidade. Entre e é uma região de transição em que a interseção do cone com o cubo é complicada. Embora uma expressão exata pudesse ser desenvolvida, seria confusa. O que sabemos é que a densidade deve mudar continuamente da derivada de para a derivada de pois varia entre esses pontos. Isso é mostrado em um histograma de um milhão de valores simulados (somente da metade superior do cubo - a metade inferior será uma imagem espelhada). A curva de ouro é o gráfico de enquanto a curva vermelha à direita é o gráfico de $\arctan(1/\sqrt{2})\approx \pi/5$$\pi/4$$-F_{-}$$-F_{+}$$\phi$$-\frac{d}{d\phi}F_{-}$$-\frac{d}{d\phi}F_{+}.$

Isso esclarece por que os modos não estão em , mas devem estar entre esses valores e .$\phi=\pm \pi/4$$\pm \arctan(1/\sqrt{2})$