Você pode usar testes de razão de verossimilhança normal. Aqui está um exemplo simples. Primeiro, vamos criar observações de 10 indivíduos com base em seus parâmetros:
Asym = .6
xmid = 23
scal = 5
n = 10
time = seq(1,60,5)
d = data.frame(time=rep(time,10),
Asym, xmid, scal, group=0)
d$subj = factor(rep(1:n, each=length(time)))
Agora deixe metade deles ter diferentes assíntotas e parâmetros de ponto médio:
ind = (nrow(d)/2):nrow(d)
d$Asym[ind] = d$Asym[ind] + .1
d$xmid[ind] = d$xmid[ind] + 10
d$group[ind] = 1
d$group=factor(d$group)
Podemos simular valores de resposta para todos os indivíduos, com base no modelo:
set.seed(1)
d = transform(d, y = Asym/(1+exp((xmid-time)/scal)) +
rnorm(nrow(d), sd=.04))
library(lattice)
xyplot(y~time | group, group=subj,
data=d, type=c("g","l"), col="black")
Podemos ver diferenças claras entre os dois grupos, diferenças que os modelos devem poder captar. Agora vamos primeiro tentar ajustar um modelo simples , ignorando grupos:
> fm1 = nls(y ~ SSlogis(time, Asym, xmid, scal), data=d)
> coef(fm1)
Asym xmid scal
0.6633042 28.5219166 5.8286082
Talvez como esperado, as estimativas Asyme xmidestejam em algum lugar entre os valores reais dos parâmetros para os dois grupos. (Que este seria o caso não é óbvio, porém, já que o parâmetro de escala também é alterado, para ajustar a especificação incorreta do modelo.) Agora vamos ajustar um modelo completo , com parâmetros diferentes para os dois grupos:
> fm2 = nls(y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal[group]),
data=d,
start=list(Asym=rep(.6,2), xmid=rep(23,2), scal=rep(5,2)))
> coef(fm2)
Asym1 Asym2 xmid1 xmid2 scal1 scal2
0.602768 0.714199 22.769315 33.331976 4.629332 4.749555
Como os dois modelos estão aninhados, podemos fazer um teste de razão de verossimilhança:
> anova(fm1, fm2)
Analysis of Variance Table
Model 1: y ~ SSlogis(time, Asym, xmid, scal)
Model 2: y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal[group])
Res.Df Res.Sum Sq Df Sum Sq F value Pr(>F)
1 117 0.70968
2 114 0.13934 3 0.57034 155.54 < 2.2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
O valor p extremamente pequeno mostra claramente que o modelo simples era muito simples; os dois grupos não diferem em seus parâmetros.
No entanto, as duas estimativas de parâmetros de escala são quase idênticas, com uma diferença de apenas 0,1. Talvez precisemos apenas de um parâmetro de escala? (É claro que sabemos que a resposta é sim, pois simulamos dados.)
(A diferença entre os dois parâmetros de assíntota também é apenas 0,1, mas é uma grande diferença quando levamos em consideração os erros padrão - veja summary(fm2).)
Então, ajustamos um novo modelo, com um scaleparâmetro comum para os dois grupos, mas diferentes Asyme xmidparâmetros, como antes:
> fm3 = nls(y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal),
data=d,
start=list(Asym=rep(.6,2), xmid=rep(23,2), scal=5))
> coef(fm3)
Asym1 Asym2 xmid1 xmid2 scal
0.6035251 0.7129002 22.7821155 33.3080264 4.6928316
E como o modelo reduzido está aninhado no modelo completo, podemos novamente fazer um teste de razão de verossimilhança:
> anova(fm3, fm2)
Analysis of Variance Table
Model 1: y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal)
Model 2: y ~ SSlogis(time, Asym[group], xmid[group], scal[group])
Res.Df Res.Sum Sq Df Sum Sq F value Pr(>F)
1 115 0.13945
2 114 0.13934 1 0.00010637 0.087 0.7685
O valor- p grande indica que o modelo reduzido se encaixa bem como o modelo completo, conforme o esperado.
É claro que podemos fazer testes semelhantes para verificar se diferentes valores de parâmetros são necessários para apenas Asym, apenas xmidou ambos. Dito isto, eu não recomendaria fazer uma regressão gradual como esta para eliminar parâmetros. Em vez disso, basta testar o modelo completo ( fm2) em relação ao modelo simples ( fm1) e ficar satisfeito com os resultados. Para quantificar quaisquer diferenças, os gráficos serão úteis.