Distância mínima esperada de um ponto com densidade variável

Estou vendo como a distância euclidiana mínima esperada entre pontos aleatoriamente uniformes e a origem muda à medida que aumentamos a densidade de pontos aleatórios ( pontos por unidade quadrada ) ao redor da origem. Eu consegui chegar a um relacionamento entre os dois descritos como tal:

$$\text{Expected Min Distance} =\frac{1}{2\sqrt{\text{Density}}}$$

Eu vim com isso executando algumas simulações de Monte Carlo em R e ajustando uma curva manualmente (código abaixo).

Minha pergunta é : eu poderia ter derivado esse resultado teoricamente, e não através de experimentação?

#Stack Overflow example
library(magrittr)
library(ggplot2)


#---------
#FUNCTIONS
#---------
#gen random points within a given radius and given density
gen_circle_points <- function(radius, density) {
  #round radius up then generate points in square with side length = 2*radius
  c_radius <- ceiling(radius)
  coords <- data.frame(
    x = runif((2 * c_radius) ^ 2 * density, -c_radius, c_radius),
    y = runif((2 * c_radius) ^ 2 * density, -c_radius, c_radius)
  )
  return(coords[sqrt(coords$x ^ 2 + coords$y ^ 2) <= radius, ])#filter in circle
}

#Example plot
plot(gen_circle_points(radius = 1,density = 200)) #200 points around origin
points(0,0, col="red",pch=19) #colour origin

#return euclidean distances of points generated by gen_circle_points()
calculate_distances <- function(circle_points) {
  return(sqrt(circle_points$x ^ 2 + circle_points$y ^ 2))
}

#find the smallest distance from output of calculate_distances()
calculate_min_value <- function(distances) {
  return(min(distances))
}


#Try a range of values
density_values <- c(1:100)

expected_min_from_density <- sapply(density_values, function(density) {
  #simulate each density value 1000 times and take an average as estimate for
  #expected minimum distance
  sapply(1:1000, function(i) {
    gen_circle_points(radius=1, density=density) %>%
      calculate_distances() %>%
      calculate_min_value()
  }) %>% mean()
})

results <- data.frame(density_values, expected_min_from_density)

#fit based off exploration
theoretical_fit <- data.frame(density = density_values, 
                              fit = 1 / (sqrt(density_values) * 2))

#plot monte carlo (black) and fit (red dashed)
ggplot(results, aes(x = density_values, y = expected_min_from_density)) +
  geom_line() + 
  geom_line(
    data = theoretical_fit,
    aes(x = density, y = fit),
    color = "red",
    linetype = 2
  )

Considere a distância até a origem de variáveis ​​aleatórias distribuídas independentemente que possuem distribuições uniformes no quadrado( X i , Y i ) [ - 1 , 1 ] 2$n$$(X_i,Y_i)$$[-1,1]^2.$

Escrevendo para a distância ao quadrado, a geometria euclidiana nos mostra que$R_i^2 = X_i^2+Y_i^2$

$$\Pr(R_i \le r \le 1) = \frac{1}{4} \pi\, r^2$$

enquanto (com um pouco mais de trabalho)

$$\Pr(1 \le R_i \le r \le \sqrt{2}) = \frac{1}{4}\left(\pi\, r^2 + 4\sqrt{r^2-1} - 4 r^2 \operatorname{ArcTan}\left(\sqrt{r^2-1}\right)\right).$$

Juntos, estes determinam a função de distribuição comum a todos os$F$$R_i.$

Como os pontos são independentes, assim como as distâncias onde a função de sobrevivência de é$n$min ( R i$R_i,$$\min(R_i)$

$$S_n(r) = (1 - F(r))^n,$$

implicando a menor distância média é

$$\mu(n) = \int_0^\sqrt{2} S_n(r)\, dr.$$

Para quase toda a área nesta integral é próxima de portanto podemos aproximar isso como$n\gg 1,$$0,$

$$\mu_\text{approx}(n) = \int_0^1S_n(r)\, dr = \int_0^1\left(1 - \frac{\pi}{4}r^2\right)^n\,dr.$$

O erro não é maior que a parte da integral omitida, que por sua vez não é maior que

$$(\sqrt{2}-1)(1-F(1))^n = (\sqrt{2}-1)(1 - \pi/4)^n,$$

o que obviamente diminui exponencialmente com$n.$

Por sua vez, podemos aproximar o integrando como

$$\left(1 - \frac{\pi}{4}r^2\right)^n \approx \exp\left(-\frac{1}{2} \frac{r^2}{2/(n\pi)}\right).$$

Até uma constante de normalização, esta é a função de densidade de uma distribuição Normal com média e variância A constante de normalização ausente é$0$$\sigma^2=2/(n\pi).$

$$C(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\ 2 / (n\pi)}} = \frac{\sqrt{n}}{2}.$$

Portanto, estendendo a integral de para (que adiciona um erro proporcional a ),$1$$\infty$$e^{-n}$

$$\mu_\text{approx}(n) \approx \int_0^\infty e^{-t^2/(2\sigma^2)}\,dt = \frac{1}{C(n)} \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

No processo de obtenção dessa aproximação, três erros foram cometidos. Coletivamente, eles estão no máximo na ordem o erro incorrido ao se aproximar de pelo gaussiano.$n^{-1},$$S_n(r)$

Esta figura plota vezes a diferença entre e vezes a menor distância média observada em conjuntos de dados simulados separados para cada Como eles diminuem à medida que cresce, isso é evidência de que o erro é$n$$1$$\sqrt{n}$$10^5$$n.$$n$$o(n^{-1}/\sqrt{n}) = o(n^{-3/2}).$

Finalmente, o fator da questão deriva do tamanho do quadrado:$1/2$ a densidade é o número de pontos por unidade de área e o quadrado tem a área , de onde$n,$$[-1,1]^2$$4$

$$2\sqrt{\text{Density}} = 2\sqrt{n/4} = \sqrt{n}.$$

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Este é o Rcódigo para a simulação:

n.sim <- 1e5  # Size of each simulation
d <- 2        # Dimension
n <- 2^(1:11) # Numbers of points in each simulation
#
# Estimate mean distance to the origin for each `n`.
#
y <- sapply(n, function(n.points) {
  x <- array(runif(d*n.points*n.sim, -1, 1), c(d, n.points, n.sim))
  mean(sqrt(apply(colSums(x^2), 2, min)))
})
#
# Plot the errors (normalized) against `n`.
#
library(ggplot2)
ggplot(data.frame(Log2.n = 1:length(n), Error=sqrt(n)* (1 - y * n^(1/d))),
       aes(Log2.n, Error)) + geom_point() + geom_smooth() 
  ylab("Error * n") + ggtitle("Simulation Means")