Podemos rejeitar uma hipótese nula com intervalos de confiança produzidos por amostragem, em vez da hipótese nula?

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Ensinaram-me que podemos produzir uma estimativa de parâmetro na forma de um intervalo de confiança após a amostragem de uma população. Por exemplo, intervalos de confiança de 95%, sem suposições violadas, devem ter uma taxa de sucesso de 95% de conter qualquer que seja o parâmetro verdadeiro que estamos estimando na população.

Ou seja,

Produza uma estimativa pontual a partir de uma amostra.
Produza uma gama de valores que teoricamente têm 95% de chance de conter o valor verdadeiro que estamos tentando estimar.

No entanto, quando o tópico se voltou para o teste de hipóteses, as etapas foram descritas da seguinte maneira:

Suponha algum parâmetro como hipótese nula.
Produza uma distribuição de probabilidade da probabilidade de obter várias estimativas pontuais, considerando que essa hipótese nula é verdadeira.
Rejeite a hipótese nula se a estimativa pontual que obtivermos for produzida em menos de 5% do tempo, se a hipótese nula for verdadeira.

Minha pergunta é esta:

É necessário produzir nossos intervalos de confiança usando a hipótese nula para rejeitar o nulo? Por que não apenas executar o primeiro procedimento e obter nossa estimativa para o parâmetro true (não usando explicitamente nosso valor hipotético no cálculo do intervalo de confiança) e depois rejeitar a hipótese nula se ela não se enquadra nesse intervalo?

Isso parece logicamente equivalente a mim intuitivamente, mas receio que esteja perdendo algo muito fundamental, pois provavelmente existe uma razão para ser ensinado dessa maneira.

— Nikli
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Minhas desculpas por não estar claro, Martijn. Em breve, editarei minha postagem para que fique mais claro para as pessoas que procurarem as mesmas perguntas no futuro. O que eu quis dizer é que podemos calcular uma estimativa de parâmetro a partir de uma amostra, ou podemos calcular um intervalo de estimativas que consideraríamos apoiar a hipótese nula usando a hipótese nula. Não entendi por que era necessário usar o nulo para ver se nossa estimativa de pontos estava nesse intervalo, em vez de simplesmente usar nossa estimativa de parâmetros e verificar se o nulo estava dentro dos limites da estimativa de parâmetros. Espero que faça sentido!

— Nikli

Um experimento interessante é se alguém tentar vender dados ponderados. Eles os rolam e afirmam que são pesados na direção que você observa (por exemplo, 6 aparece 20% do tempo). Eles são ponderados (foram realizados lances de amostra suficientes), em quanto e quanto vale fazer seus próprios testes (extras) de lançamento de dados? O vendedor e o comprador têm objetivos diferentes ... #

— 317 Philip

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Um problema simples, a título de exemplo, é dado testando a média de uma população normal com variação conhecida . Então, um pivô - uma quantidade cuja distribuição não depende do parâmetro é dado por . Os valores críticos satisfazem, neste caso simétrico, e $\sigma^2=1$ $\bar{Y}-\mu\sim N(0,1/n)$ $z_{\alpha/2}$ $\Phi(-z_{\alpha/2})=\alpha/2$ . $\Phi(z_{\alpha/2})=1-\alpha/2$

\begin{array}{rcl} 1 - α & = & Pr {(\bar{X} - μ) / (1 / \sqrt{n}) \in (- z_{α / 2}, z_{α / 2})} \\ = & Pr {- z_{α / 2} ⩽ (\bar{X} - μ) \sqrt{n} ⩽ z_{α / 2}} \\ = & Pr {z_{α / 2} ⩾ (μ - \bar{X}) \sqrt{n} ⩾ - z_{α / 2}} \\ = & Pr {- z_{α / 2} / \sqrt{n} ⩽ μ - \bar{X} ⩽ z_{α / 2} / \sqrt{n}} \\ = & Pr {\bar{X} - z_{α / 2} / \sqrt{n} ⩽ μ ⩽ \bar{X} + z_{α / 2} / \sqrt{n}} \\ = & Pr {(\bar{X} - z_{α / 2} / \sqrt{n}, \bar{X} + z_{α / 2} / \sqrt{n}) ∋ μ} \end{array}

$\begin{eqnarray*} 1-\alpha&=&\Pr\{(\bar{X}-\mu)/(1/\sqrt{n})\in(-z_{\alpha/2},z_{\alpha/2})\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}\leqslant(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}\leqslant z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{z_{\alpha/2}\geqslant(\mu-\bar{X})\sqrt{n}\geqslant -z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu-\bar{X}\leqslant z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu\leqslant \bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})\ni\mu\} \end{eqnarray*}$

(\bar{X} - z_{α / 2} / \sqrt{n}, \bar{X} + z_{α / 2} / \sqrt{n})

$(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})$

1 - α

$1-\alpha$

Ao mesmo tempo, o evento na primeira linha da exibição também é precisamente o evento em que a hipótese nula não é rejeitada por esse . Como o resto contém apenas reformulações equivalentes, o ci realmente contém todos para os quais o nulo não é rejeitado e nenhuma referência a "sob o nulo" é necessária. $\mu$ $\mu$

Aqui está um gráfico análogo à visualização +1 de Martijn com o objetivo de mostrar o que é conhecido como dualidade entre intervalos de confiança e testes. denota o intervalo de confiança pertencente a alguns e a região de aceitação pertencente a alguma hipótese . $C$ $\bar{x}^*$ $A(\mu_0)$ $\mu=\mu_0$

— Christoph Hanck
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Sim, você pode substituir um teste de hipótese (comparando amostra com uma distribuição hipotética dos resultados do teste) por uma comparação com um intervalo de confiança calculado a partir da amostra. Mas indiretamente, um intervalo de confiança já é uma espécie de teste de hipótese, a saber:

Você pode ver os intervalos de confiança como construídos como um intervalo de valores para os quais um teste de hipótese no nível seria bem $\alpha$ - sucedido e fora do intervalo, um teste de hipótese no nível falharia. $\alpha$

A consequência de fazer esse intervalo é que o intervalo falha apenas uma fração do tempo. $\alpha$

Exemplo

Estou usando uma imagem de uma resposta para a pergunta abaixo: Intervalos de confiança: como lidar formalmente com $P(L(\textbf{X}) \leq \theta, U(\textbf{X})\geq\theta) = 1-\alpha$

É uma variação de um gráfico de Clopper-Pearson . Imagine o caso de 100 tentativas de Bernoulli onde a probabilidade de sucesso é e observamos o número total de sucessos . $\theta$ $X$

Observe que:

Na direção vertical, você vê o teste de hipóteses. Por exemplo, para um determinado valor hipotético você rejeita a hipótese se o medido estiver acima ou abaixo das linhas pontilhadas em vermelho ou verde. $\theta$ $X$
Na direção horizontal você vê os intervalos de confiança de Clopper-Pearson. Se, para qualquer observação X, você usar esses intervalos de confiança, estará errado apenas 5% das vezes

(porque você só observará esse X, no qual baseará um intervalo "errado", 5% do tempo)

— Sextus Empiricus
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