Declaração do problema
Seja o logaritmo da quantidade de dinheiro o jogador tem no tempo .Yt=log10(Mt)Mtt
Seja a fração do dinheiro que o jogador está apostando.q
Seja a quantia em dinheiro que o jogador começa (dez dólares). Seja a quantia em dinheiro em que o jogador vai à falência (abaixo de 1 centavo). Por uma questão de simplicidade, adicionamos uma regra de que o jogador para de jogar quando passa uma quantia de dinheiro (mais tarde, podemos elevar essa regra assumindo o limite ).Y0=1YL=−2YWYW→∞
Caminhada aleatória
Você pode ver o crescimento e o declínio do dinheiro como uma caminhada aleatória assimétrica. Ou seja, você pode descrever como:Yt
Yt=Y0+∑i=1tXi
Onde
P[Xi=aw=log(1+2q)]=P[Xi=al=log(1−q)]=12
Probabilidade de falência
Martingale
A expressão
Zt=cYt
é um martingale quando escolhemos tal que.c
caw+cal=2
(onde se ). Uma vez que nesse casoc<1q<0.5
E[Zt+1]=E[Zt]12caw+E[Zt]12cal=E[Zt]
Probabilidade de falência
O tempo de parada (perda / falência ou vitória ) é quase certamente finito, pois exige, no pior caso, uma sequência de vitórias (ou sequência de derrotas) de um determinado comprimento finito, , o que quase certamente vai acontecer.Yt<YLYt>YWYW−YLaw
Então, podemos usar o teorema da parada opcional para dizer no tempo de parada igual ao valor esperado no tempo zero.E[Zτ]τE[Z0]
portanto
cY0=E[Z0]=E[Zτ]≈P[Yτ<L]cYL+(1−P[Yτ<L])cYW
e
P[Yτ<YL]≈cY0−cYWcYL−cYW
e o limiteYW→∞
P[Yτ<YL]≈cY0−YL
Conclusões
Existe uma porcentagem ideal do seu dinheiro que você pode oferecer sem perder tudo?
Qualquer que seja a porcentagem ideal, dependerá de como você avalia lucros diferentes. No entanto, podemos dizer algo sobre a probabilidade de perder tudo.
Somente quando o jogador apostar zero fração do seu dinheiro, ele certamente não irá à falência.
Com o aumento de a probabilidade de falir aumentará até certo ponto em que o jogador quase certamente falirá dentro de um tempo finito (a ruína do jogador mencionada por Robert Long nos comentários). Este ponto, , está em Este é o ponto em que não há solução para abaixo de um. Este também é o ponto em que as etapas crescentes são menores que as etapas decrescentes .qqgambler's ruinqgambler's ruin=1−1/b
cawal
Assim, para , desde que o jogador aposte menos da metade do dinheiro, o jogador certamente não irá à falência.b=2
as chances de perder todo o seu dinheiro diminuem ou aumentam com o tempo?
A probabilidade de falir depende da distância da quantidade de dinheiro em que o jogador vai à falência. Quando o dinheiro do jogador aumentará, em média, e a probabilidade de falir diminuirá, em média.q<qgambler's ruin
Probabilidade de falência ao usar o critério de Kelly.
Quando você usa o critério de Kelly mencionado na resposta de Dave Harris, , para ser a razão entre perda e lucro em uma única aposta, então independente de o valor de será igual a e a probabilidade de falir será de .q=0.5(1−1/b)bbc0.10.1S−L
Ou seja, independente do parâmetro de assimetria da árvore mágica, a probabilidade de falência, ao usar o critério Kelly, é igual à razão entre a quantidade de dinheiro em que o jogador vai à falência e a quantidade de dinheiro que o jogador inicia com. Por dez dólares e 1 centavo, é uma probabilidade de 1: 1000 de falência ao usar o critério de Kelly.b
Simulações
As simulações abaixo mostram diferentes trajetórias simuladas para diferentes estratégias de jogo. As trajetórias vermelhas são aquelas que acabaram em falência (acerte a linha ).Yt=−2
Distribuição dos lucros após o tempot
Para ilustrar ainda mais os possíveis resultados do jogo com a árvore do dinheiro, você pode modelar a distribuição de como um processo de difusão unidimensional em um campo de força homogêneo e com um limite absorvente (onde o jogador fica à falência). A solução para esta situação foi dada por SmoluchowskiYt
Smoluchowski, Marian V. "Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und deren Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung". Annalen der Physik 353,24 (1916): 1103-1112. (disponível on-line em: https://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/BM-History.html )
Equação 8:
W(x0,x,t)=e−c(x−x0)2D−c2t4D2πDt−−−−√[e−(x−x0)24Dt−e−(x+x0)24Dt]
Essa equação de difusão refere-se ao problema da árvore quando definimos a velocidade igual ao aumento esperado , definimos igual à variação da alteração em uma única etapa , é o quantidade inicial de dinheiro, e é o número de etapas.cE[Yt]DVar(Xt)x0t
A imagem e o código abaixo demonstram a equação:
O histograma mostra o resultado de uma simulação.
A linha pontilhada mostra um modelo quando usamos uma distribuição normal ingênua para aproximar a distribuição (isso corresponde à ausência da barreira absorvente da "falência"). Isso está errado porque alguns dos resultados acima do nível de falência envolvem trajetórias que passaram no nível de falência mais cedo.
A linha contínua é a aproximação usando a fórmula de Smoluchowski.
Códigos
#
## Simulations of random walks and bankruptcy:
#
# functions to compute c
cx = function(c,x) {
c^log(1-x,10)+c^log(1+2*x,10) - 2
}
findc = function(x) {
r <- uniroot(cx, c(0,1-0.1^10),x=x,tol=10^-130)
r$root
}
# settings
set.seed(1)
n <- 100000
n2 <- 1000
q <- 0.45
# repeating different betting strategies
for (q in c(0.35,0.4,0.45)) {
# plot empty canvas
plot(1,-1000,
xlim=c(0,n2),ylim=c(-2,50),
type="l",
xlab = "time step", ylab = expression(log[10](M[t])) )
# steps in the logarithm of the money
steps <- c(log(1+2*q,10),log(1-q,10))
# counter for number of bankrupts
bank <- 0
# computing 1000 times
for (i in 1:1000) {
# sampling wins or looses
X_t <- sample(steps, n, replace = TRUE)
# compute log of money
Y_t <- 1+cumsum(X_t)
# compute money
M_t <- 10^Y_t
# optional stopping (bankruptcy)
tau <- min(c(n,which(-2 > Y_t)))
if (tau<n) {
bank <- bank+1
}
# plot only 100 to prevent clutter
if (i<=100) {
col=rgb(tau<n,0,0,0.5)
lines(1:tau,Y_t[1:tau],col=col)
}
}
text(0,45,paste0(bank, " bankruptcies out of 1000 \n", "theoretic bankruptcy rate is ", round(findc(q)^3,4)),cex=1,pos=4)
title(paste0("betting a fraction ", round(q,2)))
}
#
## Simulation of histogram of profits/results
#
# settings
set.seed(1)
rep <- 10000 # repetitions for histogram
n <- 5000 # time steps
q <- 0.45 # betting fraction
b <- 2 # betting ratio loss/profit
x0 <- 3 # starting money
# steps in the logarithm of the money
steps <- c(log(1+b*q,10),log(1-q,10))
# to prevent Moiré pattern in
# set binsize to discrete differences in results
binsize <- 2*(steps[1]-steps[2])
for (n in c(200,500,1000)) {
# computing several trials
pays <- rep(0,rep)
for (i in 1:rep) {
# sampling wins or looses
X_t <- sample(steps, n, replace = TRUE)
# you could also make steps according to a normal distribution
# this will give a smoother histogram
# to do this uncomment the line below
# X_t <- rnorm(n,mean(steps),sqrt(0.25*(steps[1]-steps[2])^2))
# compute log of money
Y_t <- x0+cumsum(X_t)
# compute money
M_t <- 10^Y_t
# optional stopping (bankruptcy)
tau <- min(c(n,which(Y_t < 0)))
if (tau<n) {
Y_t[n] <- 0
M_t[n] <- 0
}
pays[i] <- Y_t[n]
}
# histogram
h <- hist(pays[pays>0],
breaks = seq(0,round(2+max(pays)),binsize),
col=rgb(0,0,0,0.5),
ylim=c(0,1200),
xlab = "log(result)", ylab = "counts",
main = "")
title(paste0("after ", n ," steps"),line = 0)
# regular diffusion in a force field (shifted normal distribution)
x <- h$mids
mu <- x0+n*mean(steps)
sig <- sqrt(n*0.25*(steps[1]-steps[2])^2)
lines(x,rep*binsize*(dnorm(x,mu,sig)), lty=2)
# diffusion using the solution by Smoluchowski
# which accounts for absorption
lines(x,rep*binsize*Smoluchowski(x,x0,0.25*(steps[1]-steps[2])^2,mean(steps),n))
}
