Como testar se

Suponha que eu tenha três grupos independentes, com média $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ respectivamente.

Como posso testar se ou não está usando amostras de cada grupo? $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ $n_1,~n_2,~n_3$

Desejo conhecer alguma metodologia geral, não um cálculo detalhado. Não consegui descobrir como definir minha hipótese e . $H_0$ $H_1$

hypothesis-testing multiple-comparisons isotonic

— 456 123
fonte

Este é um caso de inferência estatística restrita à ordem . Existem livros sobre o assunto .

— Kjetil b halvorsen

Há também o livro antigo de inferência estatística Barlow, Bartholemew, Bremner e Brunk sob restrições de ordem (1973) (embora tenha havido alguns desenvolvimentos desde então); No que diz respeito aos testes não paramétricos, há o teste de Jonckheere-Terpstra (por exemplo, consulte Conover) e um dos testes de correspondência (tente o livro de Neave e Worthington). Você normalmente escreveria uma igualdade nula e uma alternativa ordenada.

— Glen_b -Reinstala Monica

A Q semelhante com resposta

— Kjetil b Halvorsen

Aqui deve-se dizer, não que se tem

amostras do grupo

mas que se tem uma amostra de tamanho

de grupo

n_{i}

$n_i$

i,

$i,$

n_{i}

$n_i$

i .

$i. \qquad$

— Michael Hardy

Respostas:

Nas estatísticas, você não pode testar se "X é verdadeiro ou não". Você só pode tentar encontrar evidências de que uma hipótese nula é falsa.

Digamos que sua hipótese nula seja

H_{0}^{1} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3} .

$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$ Suponhamos também que você tenha uma maneira de estimar o vetor

μ = (μ_{1}, μ_{2}, μ_{3})^{'}

$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$ . Para manter as coisas, basta supor que você tenha um estimador

x \sim N (μ, Σ),

$x \sim N(\mu, \Sigma),$ onde

matriz covariada. Podemos reescrever a hipótese nula como

onde

Σ

$\Sigma$

3 \times 3

$3 \times 3$

A μ < 0,

$A \mu < 0,$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}] .

$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$ Isso mostra que sua hipótese nula pode ser expressa como uma restrição de desigualdade no vetor

A μ

$A \mu$ . Um estimador natural de

A μ

$A\mu$ é dado por

A x \sim N (A μ, A Σ A^{'}) .

$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$ Agora você pode usar a estrutura para testar restrições de desigualdade em vetores normais, fornecidos em:

Kudo, Akio (1963). "Um análogo multivariado do teste unilateral". In: Biometrika 50.3 / 4, pp. 403-418.

$n_1, n_2, n_3$ $\Sigma$

(σ_{1}^{2} / n_{1}, σ_{2}^{2} / n_{2}, σ_{3}^{2} / n_{3})^{'},

$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$

σ_{k}^{2}

$\sigma_k^2$

k = 1, 2, 3

$k = 1, 2, 3$

H_{1}^{2} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3}

$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$

H_{0}^{2} : NOT H_{1} .

$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$

H_{1} : A μ < 0

$H_1: A\mu <0$

H_{0}^{2} : there exists a k = 1, 2 such that (A μ)_{k} \geq 0 .

$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$

H_{0, 1}^{2} : (A μ)_{1} \geq 0.

$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$

H_{0, 2}^{2} : (A μ)_{2} \geq 0.

$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

Σ

$\Sigma$

$H_0^2$

H_{0}^{2} : max_{k = 1, 2} (A μ)_{k} \geq 0.

$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$

max A x

$\max Ax$

— Andreas Dzemski
fonte

Justo, editei minha resposta.

— Andreas Dzemski 12/04/19

x

$x$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

μ

$\mu$

A resposta fornecida por @ andreas-dzemski está correta apenas se soubermos que os dados são normalmente distribuídos.

Se não soubermos a distribuição, acredito que seria melhor executar um teste não paramétrico. Nesse caso, o mais simples parece executar um teste de permutação. Este é um livro sobre o tópico e este é uma boa explicação online. Abaixo, incluo o código R para calcular este teste.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))

— scaramouche
fonte