MLE / Probabilidade de intervalo lognormalmente distribuído

Eu tenho um conjunto variável de respostas que são expressas como um intervalo, como a amostra abaixo.

> head(left)
[1]  860  516  430 1118  860  602
> head(right)
[1]  946  602  516 1204  946  688

onde esquerda é o limite inferior e direita é o limite superior da resposta. Quero estimar os parâmetros de acordo com a distribuição lognormal.

Por um tempo, quando eu estava tentando calcular as probabilidades diretamente, estava lutando com o fato de que, como os dois limites são distribuídos por diferentes conjuntos de parâmetros, eu estava obtendo alguns valores negativos, como abaixo:

> Pr_high=plnorm(wta_high,meanlog_high,sdlog_high)
> Pr_low=plnorm(wta_low, meanlog_low,sdlog_low)
> Pr=Pr_high-Pr_low
> 
> head(Pr)
[1] -0.0079951419  0.0001207749  0.0008002343 -0.0009705125 -0.0079951419 -0.0022395514

Eu realmente não conseguia descobrir como resolvê-lo e decidi usar o ponto médio do intervalo, o que é um bom compromisso até encontrar a função mledist que extrai a probabilidade de log de uma resposta de intervalo. Este é o resumo que recebo:

> mledist(int, distr="lnorm")
$estimate
meanlog     sdlog 
6.9092257 0.3120138 

$convergence
[1] 0

$loglik
[1] -152.1236

$hessian
         meanlog       sdlog
meanlog 570.760358    7.183723
sdlog     7.183723 1112.098031

$optim.function
[1] "optim"

$fix.arg
NULL

Warning messages:
1: In plnorm(q = c(946L, 602L, 516L, 1204L, 946L, 688L, 1376L, 1376L,  :
NaNs produced
2: In plnorm(q = c(860L, 516L, 430L, 1118L, 860L, 602L, 1290L, 1290L,  :
NaNs produced

Os valores dos parâmetros parecem fazer sentido e a probabilidade de logaritmo é maior que qualquer outro método que eu usei (distribuição de ponto médio ou distribuição de qualquer um dos limites).

Há uma mensagem de aviso que eu não entendo, então alguém poderia me dizer se estou fazendo a coisa certa e o que essa mensagem significa?

Agradecemos a ajuda!

Parece que você pode não estar computando a probabilidade corretamente.

$x$

1. $F_\theta$

2. $a$$b \gt a$$b$$a$$x$

R$a$left$b$right$F_\theta$$b \gt a$$b \ne a$

#
# Lognormal log-likelihood for interval data.
#
lambda <- function(mu, sigma, left, right) {
  sum(log(pnorm(log(right), mu, sigma) - pnorm(log(left), mu, sigma)))
}

$\mu$$\sigma$

#
# Create an initial estimate of lognormal parameters for interval data.
#
lambda.init <- function(left, right) {
  mid <- log(left * right)/2
  c(mean(mid), sd(mid))
}

Vamos gerar alguns dados aleatórios distribuídos aleatoriamente no log e agrupá-los em intervalos:

set.seed(17)
n <- 12                     # Number of data
z <- exp(rnorm(n, 6, .5))   # Mean = 6, SD = 0.5
left <- 100 * floor(z/100)  # Bin into multiples of 100
right <- left + 100

O ajuste pode ser realizado por um otimizador multivariado de uso geral. (Como este é um minimizador por padrão, deve ser aplicado ao negativo da probabilidade de log).

fit <- optim(lambda.init(left,right), 
             fn=function(theta) -lambda(theta[1], theta[2], left, right))
fit$par

6.1188785 0.3957045

$\mu$$6.12$$6$$\sigma$$0.40$$0.5$$12$

#
# ECDF of the data.
#
F <- function(x) (1 + mean((abs(x - left) - abs(x - right)) / (right - left)))/2

y <- sapply(x <- seq(min(left) * 0.8, max(right) / 0.8, 1), F)
plot(x, y, type="l", lwd=2, lty=2, ylab="Cumulative probability")
curve(pnorm(log(x), fit$par[1], fit$par[2]), from=min(x), to=max(x), col="Red", lwd=2, 
  add=TRUE)

Como os desvios verticais são consistentemente pequenos e variam para cima e para baixo, parece um bom ajuste.