Qual é o significado de sobrescrito em

No contexto da inferência baseada em verossimilhança, vi algumas notações sobre os parâmetros de interesse que achei um pouco confusas.

Por exemplo, notação como e . $p_{\theta}(x)$ ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$

Qual é o significado do parâmetro ( ) na notação subscrita acima? Em outras palavras, como deve ser lido? $\theta$

Minha primeira suposição foi que simplesmente significava "com o parâmetro "; por exemplo, para , seria lido: $\theta$ $p_{\theta}(x)$

"A densidade de probabilidade de com o parâmetro ." $x$ $\theta$

No entanto, isso provavelmente não está correto porque e, em geral, não é uma distribuição (isto é, não se integra à unidade); portanto, não pode ser uma densidade, pode? $p_{\theta}(x) = L(\theta)$ $L(\theta)$

Além disso, no caso de , não tenho certeza do que muda em relação a (ou seja, com o índice omitido). ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$ $\theta$

No exemplo acima, e significam a função de pontuação e a função de probabilidade, respectivamente. $S(\theta)$ $L(\theta)$

— Hugo
fonte

é uma probabilidade (ou densidade) para cada

, que não implica que a probabilidade seja uma função de densidade em função de

p_{θ}

$p_\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Stéphane Laurent

Obrigado pela sua resposta!

Então

p_{θ} (x) is equivalent to p (x; θ)

$p_{\theta}(x) \text{ is equivalent to } p(x;\theta)$

A partir deste, que se pode assumir que:

p_{θ} (x) = L (θ) but \int p_{θ} (x) d x = 1 \neq \int L (θ) d θ

$p_{\theta}(x) = L(\theta) \text{ but } \int p_{\theta}(x) dx = 1 \neq \int L(\theta) d\theta$

E também que

se refere à expectativa de

para cada

tal que:

E_{θ} (f (x))

${\mathbb E}_{\theta}(f(x))$

x

$x$

θ

$\theta$

E_{θ} (f (x)) = \int f (x) p_{θ} (x) d x

${\mathbb E}_{\theta}(f(x)) = \int f(x)p_{\theta}(x)dx$

— 233 Hugo Hugo

Geralmente a notação

representa uma expectativa em relação à variável aleatória

; se você estiver em uma situação em que faz sentido considerar

como uma variável aleatória (como um contexto bayesiano), essa seria a intenção. Se você não estiver em uma situação em que

possa ser considerada uma variável aleatória, o comentário de @ Hugo significaria o seguinte.

E_{X} ()

$\text{E}_X()$

X

$X$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— Glen_b -instala Monica

@ Hugo Sim, você entende. Rigorosamente que sempre deve denotar a expectativa

em que

é a probabilidade subjacente, mas isso é inútil quando existe apenas um

. Aqui

é um atalho para

. A notação

mencionada por Geln_b é apropriada para outros contextos, mas geralmente não gosto dessa notação.

E_{P}

$\mathbb{E}_{P}$

P

$P$

P

$P$

E_{θ}

$\mathbb{E}_\theta$

E_{p_{θ}}

$\mathbb{E}_{p_{\theta}}$

E_{X}

$\mathbb{E}_X$

— Stéphane Laurent

Isso é respondido principalmente em comentários que resumirei aqui.

$p_\theta(x)$ significa o mesmo que $p(x; \theta)$ , é uma abreviação. Esta é uma densidade em relação a $x$ , não em relação a $\theta$ . Assim, enquanto por necessidade $\int p(x;\theta)\; dx = 1$ não segue que $\int p(x;\theta)\; d\theta=1$ , pode ser qualquer coisa, incluindo $\infty$ .

Portanto, ${\mathbb E}_{\theta}\left[S(\theta)\right]$ é a expectativa de $S(\theta)$ em relação à distribuição $p_\theta(x)$ . O subscrito $\theta$ existe para maior clareza, não porque é necessário, então ${\mathbb E}\left[(S(\theta)\right]$ tem o mesmo significado distribuição com relação à qual calculamos a expectativa deve ser clara a partir do contexto ou indicada de alguma forma (como por um subscrito).

— kjetil b halvorsen
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