Distância de Mahalanobis em dados não normais

A distância de Mahalanobis, quando usada para fins de classificação, normalmente assume uma distribuição normal multivariada, e as distâncias do centróide devem seguir uma (com graus de liberdade iguais ao número de dimensões / características). Podemos calcular a probabilidade de um novo ponto de dados pertencer ao conjunto usando sua distância de Mahalanobis.$\chi^2$$d$

Eu tenho conjuntos de dados que não seguem uma distribuição normal multivariada ( ). Em teoria, cada recurso deve seguir uma distribuição de Poisson e, empiricamente, esse parece ser o caso de muitos recursos ( aproximadamente 200 ), e aqueles que não estão no ruído e podem ser removidos da análise. Como posso classificar novos pontos nesses dados?$d \approx 1000$$\approx 200$

Eu acho que existem dois componentes:

1. Qual é a fórmula apropriada de "distância de Mahalanobis" nesses dados (ou seja, distribuição multivariada de Poisson)? Existe uma generalização da distância para outras distribuições?
2. Se eu uso a distância normal de Mahalanobis ou outra formulação, qual deve ser a distribuição dessas distâncias? Existe uma maneira diferente de fazer o teste de hipótese?

Alternativamente...

O número de pontos de dados conhecidos $n$ em cada classe varia muito, de $n=1$ (muito poucos; determinarei um mínimo empiricamente) a cerca de $n=6000$ . A distância de Mahalanobis escala com $n$ , portanto, as distâncias de um modelo / classe para o próximo não podem ser comparadas diretamente. Quando os dados são distribuídos normalmente, o teste do qui-quadrado fornece uma maneira de comparar distâncias de diferentes modelos (além de fornecer valores ou probabilidades críticas). Se houver outra maneira de comparar diretamente as distâncias "semelhantes a Mahalanobis", mesmo que não forneçam probabilidades, eu poderia trabalhar com isso.

Você pode querer verificar Karlis e Meligkotsidou, "Regressão multivariada de poisson com estrutura de covariância". 2005. Este artigo trata das tentativas dos autores de modelar variáveis ​​multivariadas de Poisson, que eles reconhecem ser uma tarefa difícil.

O uso da distância de Mahalanobis implica que a inferência pode ser feita através da matriz de média e covariância - e isso é uma propriedade apenas da distribuição normal. Se você usa o MD em seus dados, está basicamente fingindo que eles são normais.