Compreendendo a variação dos efeitos aleatórios nos modelos lmer ()

Estou tendo problemas para entender a saída do meu lmer()modelo. É um modelo simples de uma variável de resultado (Suporte) com interceptações de estado variáveis / efeitos aleatórios de estado:

mlm1 <- lmer(Support ~ (1 | State))

Os resultados de summary(mlm1)são:

Linear mixed model fit by REML 
Formula: Support ~ (1 | State) 
   AIC   BIC logLik deviance REMLdev
 12088 12107  -6041    12076   12082
Random effects:
 Groups   Name        Variance  Std.Dev.
 State    (Intercept) 0.0063695 0.079809
 Residual             1.1114756 1.054265
Number of obs: 4097, groups: State, 48

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  0.13218    0.02159   6.123

Entendo que a variação do estado variável intercepta / efeitos aleatórios é 0.0063695. Mas quando eu extraio o vetor desses efeitos aleatórios do estado e calculo a variação

var(ranef(mlm1)$State)

O resultado é 0.001800869:, consideravelmente menor que a variação reportada por summary().

Tanto quanto eu o entendo, o modelo que eu especifiquei pode ser escrito:

$y_i = \alpha_0 + \alpha_s + \epsilon_i, \text{ for } i = \{1, 2, ..., 4097\}$

$\alpha_s \sim N(0, \sigma^2_\alpha), \text{ for } s = \{1, 2, ..., 48\}$

Se isso estiver correto, a variação dos efeitos aleatórios ( ) deve ser . No entanto, estes não são realmente equivalentes no meu ajuste. $\alpha_s$ $\sigma^2_\alpha$ lmer()

r mixed-model random-effects-model lme4-nlme

— nomad545
fonte

Você tem algum conhecimento sobre como os parâmetros são estimados lmer()? Parece que você postular que

é estimado pela variação empírica dos efeitos aleatórios estimados

. A descrição do seu modelo não está clara (perharps

deve ser

). É um design equilibrado?

σ_{α}^{2}

$\sigma^2_\alpha$

{\hat{α}}_{s}

$\hat\alpha_s$

y_{i}

$y_i$

y_{i s}

$y_{is}$

— Stéphane Laurent

Aqui é uma questão muito semelhante, com uma resposta de alguma forma diferente

— Arne Jonas Warnke

Esta é uma anova de sentido único clássica. Uma resposta muito curta para sua pergunta é que o componente de variação é composto de dois termos.

{\hat{σ}}_{α}^{2} = E [\frac{1}{48} \sum_{s = 1}^{48} α_{s}^{2}] = \frac{1}{48} \sum_{s = 1}^{48} {\hat{α}}_{s}^{2} + \frac{1}{48} \sum_{s = 1}^{48} v a r ({\hat{α}}_{s})

$\hat{\sigma}^2_{\alpha}=E\left[\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48} \alpha_s^2\right]= \frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}\hat{ \alpha }_s^2 +\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}var(\hat{ \alpha }_s)$

Portanto, o termo que você calculou é o primeiro termo no rhs (como efeitos aleatórios têm média zero). O segundo termo depende se REML de ML é usado e a soma dos erros padrão ao quadrado dos seus efeitos aleatórios.

— probabilityislogic
fonte

OK, entendi! Portanto, a soma dos SEs ao quadrado dos REs - 1/48 * sum((se.ranef(mlm1)$State)^2)- é 0.004557198. A variação das estimativas pontuais das ERs (obtidas, como acima, usando var(ranef(mlm1)$State)) é 0.001800869. A soma é 0.006358067, que é a variação relatada usando summary()no lmer()modelo acima, com pelo menos 4 ou 5 dígitos. Muito obrigado @probability

— nomad545

Para aqueles que procuram esta resposta e o comentário para obter ajuda, observe que o nomad545 também fez uso do armpacote R para a se.ranef()função.

— ndoogan

@probabilityislogic: Você pode fornecer mais detalhes de como essa equação foi calculada? Especificamente, como a segunda igualdade foi alcançada? Além disso, não deveria haver um chapéu no alfa após a primeira igualdade?

— usuário1357015

Y \sim N o r m a l (1_{n} α_{0}, Σ)

$Y\sim Normal (1_n\alpha_0,\Sigma)$

Σ = I_{n} σ_{e}^{2} + σ_{α}^{2} Z Z^{T}

$\Sigma=I_n\sigma^2_e+\sigma^2_{\alpha} ZZ^T$

E (α_{s}) = 0

$E (\alpha_s)=0$

v a r (α_{s}) = E (α_{s}^{2})

$var (\alpha_s)=E (\alpha_s^2)$