Podemos tornar a distribuição de Irwin-Hall mais geral?

Preciso encontrar uma classe de distribuição simétrica de baixa curtose, que inclua a distribuição gaussiana uniforme, triangular e normal. A distribuição Irwin-Hall (soma de padrão uniforme) oferece esta característica, mas não é o tratamento de pedidos não inteiros . No entanto, se você, por exemplo, simplesmente resumir de forma independente, por exemplo, 2 uniforme padrão e um 3º com um intervalo menor como você obterá de maneira agradável uma versão mais geral e estendida do Irwin-Hall para qualquer arbitrária ordem (como neste caso). No entanto, gostaria de saber se é possível encontrar uma fórmula prática fechada para o CDF? $N$ $[0,1]$ $[0,0.25]$ $N=2.25$

— user32038
fonte

"Suavemente estendido" levanta algumas questões espinhosas. No tópico stats.stackexchange.com/questions/41467 , o pôster observa que a suavidade da distribuição Irwin-Hall muda abruptamente de um valor (integral) de para o próximo. Isso já sugere que não devemos esperar que exista uma forma fechada matematicamente "agradável" que seja parametrizada pelos valores reais de . Além disso, não existe uma fórmula fechada, mesmo para a própria distribuição de Irwin-Hall.

n

$n$

n

$n$

— whuber

Olá, fiz experimentos detalhados de amostragem e analise os histogramas dessa distribuição generalizada de Irwin-Hall. De fato, a introdução de N não inteiro ajuda a evitar saltos no comportamento! Também, por exemplo, a curtose aumenta suavemente com N. com valor real. Se não fosse esse o caso, seria de fato não agradável. Eu acho que deveria ser possível estender a fórmula de soma de Irwin-Hall para o CDF de alguma forma.

— user32038

O somatório não é uma "fórmula fechada" no sentido usual da palavra, porque o número de termos aumenta sem limite, pois varia. Esta é uma distinção importante, porque existem fórmulas fechadas verdadeiras: a função característica da distribuição Irwin-Hall, existe para não integral) sua Transformação de Fourier inversa responde à sua pergunta - isto é, se você considera uma fórmula prática fechada !

n

$n$

{((\exp (i t) - 1) / (i t))}^{n},

$\left((\exp(it) - 1)/(it)\right)^n,$

n

$n$

— whuber

Oi whuber! Eu preciso de uma implementação adequada, por exemplo, em Pascal. Para N moderado (como 20), a conhecida fórmula CDF Irwin-Hall não é um problema, mas não quero gastar muito tempo de computação, por exemplo, para uma integração, transformação de Fourier (inversa) ou qualquer outra coisa. Obviamente, a abordagem de transformação de Fourier é elegante, mas não tão precisa, porque eu estou muito interessado no CDF (x) para x "grande", então a área da cauda é importante para mim!

— user32038

Olá, você poderia esboçar mais detalhadamente como passaria da transformação de Fourier do PDF para o CDF comum? (embora eu acredite que esse método tenha problemas de oscilação nas caudas, por exemplo, fornecer PDF negativo se tentarmos avaliar a integral ...).

— user32038

Bem, esta não é realmente uma resposta completa. Voltaremos mais tarde para concluir ...

O livro de Brian Ripley Simulação estocástica tem a fórmula pdf fechada como exercício 3.1, página 92 e é apresentado abaixo: Uma implementação R disso está abaixo:

f (x) = \sum_{r = 0}^{⌊ x ⌋} (- 1)^{r} (\binom{n}{r}) (x - r)^{(n - 1)} / (n - 1)!

$f(x) = \sum_{r=0}^{\lfloor x \rfloor} (-1)^r \binom{n}{r} (x-r)^{(n-1)}/ (n-1)!$

makeIH  <-  function(n) Vectorize( function(x) {
                            if (x < 0) return(0.0)
                            if (x > n) return(0.0)
                            X  <-  floor(x)
                            r <- seq(from=0,  to=X)
                            s <-  (-1)^r * choose(n, r)*(x-r)^(n-1)/factorial(n-1)
                            sum(s)
                            } )

que é usado desta maneira:

fun3  <-  makeIH(3)
 plot(fun3,from=0,to=3,n=1001)
 abline(v=1, col="red")
 abline(v=2, col="red")

e dá esse enredo:

A falta de suavidade nos valores inteiros pode ser vista, pelo menos com uma boa visão .... $x=1, x=2$

(Voltarei para concluir isso mais tarde)

— kjetil b halvorsen
fonte

+1 Eu estaria interessado em ver qual é a conclusão disso, se você tiver tempo. ... Como um aparte, enquanto eu sei que há uma falta de suavidade aqui (no sentido de haver descontinuidades na segunda derivada), não posso dizer que realmente a percebo como não suave (meus olhos tendem a dizer "sem dobras, parece suave"). Suponho que se eu estivesse andando de montanha-russa ao longo dessa curva, certamente sentiria a mudança.

— Glen_b -Reinstate Monica

Para o momento fora do tempo ... depois

— Kjetil b Halvorsen

Ver também a falta de lisura provavelmente teremos de escolher os pontos de plotagem para incluir os números inteiros ...

— b Kjetil Halvorsen