Erro de previsão esperado - derivação

Estou lutando para entender a derivação do erro de previsão esperado abaixo (ESL), especialmente na derivação de 2.11 e 2.12 (condicionamento, o passo em direção ao mínimo pontual). Quaisquer ponteiros ou links muito apreciados.

Abaixo, estou relatando o trecho da ESL pág. 18. As duas primeiras equações são, em ordem, as equações 2.11 e 2.12.

Deixe denotar um vetor de entrada aleatória com valor real e uma variável de saída aleatória com valor real, com distribuição conjunta . Nós procuramos uma função para prever valores dados de entrada . Essa teoria requer uma função de perda para penalizar erros na previsão, e de longe o mais comum e conveniente é a perda de erro ao quadrado : . Isso nos leva a um critério para escolher , $X \in \mathbb{R}^p$ $Y \in \mathbb{R}$ $\text{Pr}(X,Y)$ $f(X)$ $Y$ $X$ $L(Y,f(X))$ $L(Y,f(X))=(Y-f(X))^2$ $f$

\begin{aligned} EPE (f) & = E (Y - f (X))^{2} \\ = \int [y - f (x)]^{2} Pr (d x, d y) \end{aligned}

$\begin{split} \text{EPE}(f) &= \text{E}(Y - f(X))^2\\ & = \int [y - f(x)]^2 \text{Pr}(dx, dy) \end{split}$

o erro de previsão esperado (ao quadrado). Ao condicionar em , podemos escrever EPE como $X$

EPE (f) = E_{X} E_{Y | X} ([Y - f (X)]^{2} | X)

$\text{EPE}(f) = \text{E}_X \text{E}_{Y|X}([Y-f(X)]^2|X)$

e vemos que basta minimizar a EPE em termos de pontos:

f (x) = {argmin}_{c} E_{Y | X} ([Y - c]^{2} | X)

$f(x) = \text{argmin}_c \text{E}_{Y|X}([Y-c]^2|X)$

A solução é

f (x) = E (Y | X = x)

$f(x) = \text{E}(Y|X=x)$

a expectativa condicional, também conhecida como função de regressão .

regression prediction error

— user1885116
fonte

Trocar e na primeira equação no artigo da Wikipedia sobre Lei da Expectativa Total fornece a equivalência de (2,9) e (2,11). Leia esse artigo para obter provas. (2.12) é imediato, entendendo-se que deve ser escolhido para minimizar EPE.

X

$X$

Y

$Y$

f

$f$

— whuber

Nota lateral: Isto é de Elements of Statistical Learning

— Zhubarb 01/10/16

Para aqueles também de ler este livro, confira essas notas abrangentes por Weathermax e Epstein

— Dodgie

@Dodgie Esse link morreu: (

— Matthew Drury

@MatthewDrury Felizmente um googling de "Weathermax e Epstein estatísticas" retornou um destino como o primeiro resultado;) - waxworksmath.com/Authors/G_M/Hastie/WriteUp/...

— Dodgie

Respostas:

\begin{aligned} E P E (f) & = \int [y - f (x)]^{2} P r (d x, d y) \\ = \int [y - f (x)]^{2} p (x, y) d x d y \\ = \int_{x} \int_{y} [y - f (x)]^{2} p (x, y) d x d y \\ = \int_{x} \int_{y} [y - f (x)]^{2} p (x) p (y | x) d x d y \\ = \int_{x} (\int_{y} [y - f (x)]^{2} p (y | x) d y) p (x) d x \\ = \int_{x} (E_{Y | X} ([Y - f (X)]^{2} | X = x)) p (x) d x \\ = E_{X} E_{Y | X} ([Y - f (X)]^{2} | X = x) \end{aligned}

$\begin{align*} EPE(f) &= \int [y - f(x)]^2 Pr(dx, dy) \\ &= \int [y - f(x)]^2p(x,y)dxdy \\ &= \int_x \int_y [y - f(x)]^2p(x,y)dxdy \\ &= \int_x \int_y [y - f(x)]^2p(x)p(y|x)dxdy \\ &= \int_x\left( \int_y [y - f(x)]^2p(y|x)dy \right)p(x)dx \\ &= \int_x \left( E_{Y|X}([Y - f(X)]^2|X = x) \right) p(x)dx\\ &= E_{X}E_{Y|X}([Y - f(X)]^2| X = x) \end{align*}$

— user48002
fonte

Entendo o que você escreveu, mas você acha que, se o OP foi confundido pela derivação mostrada na pergunta, ele entenderá sua resposta? claro, eu já entendi a derivação mostrada na pergunta.

— Mark L. Stone

Eu cheguei aqui do google com a mesma pergunta e realmente achei essa derivação exatamente o que eu precisava.

— Ponto e vírgula e fita adesiva

@ MarkL.Stone - essa pode ser uma pergunta estúpida, mas você poderia explicar o que significa e como ele se torna ? Agradece a um grupo

P r (d x, d y)

$Pr(dx,dy)$

p (x, y) d x d y

$p(x,y)dxdy$

— Xavier Bourret Sicotte

O que se quer dizer com o primeiro é o último. Eu acho que é mais comum usar dP (x, y) ou dF (x, y). Em 1D, você verá frequentemente que dF (x) significa f (x) dx, onde f (x) é a função de densidade de probabilidade, mas a notação também pode permitir a função de massa de probabilidade discreta (em soma) ou mesmo uma mistura de densidade contínua e massa discreta de probabilidade.

— Mark L. Stone

Não seria mais preciso dizer (última fórmula) ?

E_{X} (E_{Y | X} ([Y - f (X)]^{2} | X = x))

$E_{X}(E_{Y|X}([Y - f(X)]^2| X = x))$

— D1X 31/01

A equação (2.11) é uma conseqüência da seguinte pequena igualdade. Para quaisquer duas variáveis aleatórias e , e qualquer função $Z_1$ $Z_2$ $g$

E_{Z_{1}, Z_{2}} (g (Z_{1}, Z_{2})) = E_{Z_{2}} (E_{Z_{1} ∣ Z_{2}} (g (Z_{1}, Z_{2}) ∣ Z_{2}))

$E_{Z_1, Z_2} (g(Z_1, Z_2)) = E_{Z_2}(E_{Z_1 \mid Z_2}(g(Z_1, Z_2) \mid Z_2))$

A notação é a expectativa sobre a distribuição conjunta . A notação diz essencialmente "integre a distribuição condicional de como se tivesse sido corrigido". $E_{Z_1, Z_2}$ $E_{Z_1 \mid Z_2}$ $Z_1$ $Z_2$

É fácil verificar isso no caso de e serem variáveis aleatórias discretas, apenas desenrolando as definições envolvidas $Z_1$ $Z_2$

\begin{aligned} E_{Z_{2}} & (E_{Z_{1} ∣ Z_{2}} (g (Z_{1}, Z_{2}) ∣ Z_{2})) \\ = E_{Z_{2}} (\sum_{z_{1}} g (z_{1}, Z_{2}) P r (Z_{1} = z_{1} ∣ Z_{2})) \\ = \sum_{z_{2}} (\sum_{z_{1}} g (z_{1}, z_{2}) P r (Z_{1} = z_{1} ∣ Z_{2} = z_{2})) P r (Z_{2} = z_{2}) \\ = \sum_{z_{1}, z_{2}} g (z_{1}, z_{2}) P r (Z_{1} = z_{1} ∣ Z_{2} = z_{2}) P r (Z_{2} = z_{2}) \\ = \sum_{z_{1}, z_{2}} g (z_{1}, z_{2}) P r (Z_{1} = z_{1}, Z_{2} = z_{2}) \\ = E_{Z_{1}, Z_{2}} (g (Z_{1}, Z_{2})) \end{aligned}

$\begin{align} E_{Z_2} & (E_{Z_1 \mid Z_2}(g(Z_1, Z_2) \mid Z_2)) \\ &= E_{Z_2} \left( \sum_{z_1} g(z_1, Z_2) Pr(Z_1 = z_1 \mid Z_2 ) \right) \\ &= \sum_{z_2} \left( \sum_{z_1} g(z_1, z_2) Pr(Z_1 = z_1 \mid Z_2 = z_2 ) \right) Pr(Z_2 = z_2) \\ &= \sum_{z_1, z_2} g(z_1, z_2) Pr(Z_1 = z_1 \mid Z_2 = z_2) Pr(Z_2 = z_2) \\ &= \sum_{z_1, z_2} g(z_1, z_2) Pr(Z_1 = z_1, Z_2 = z_2 ) \\ &= E_{Z_1, Z_2} (g(Z_1, Z_2)) \end{align}$

O caso contínuo pode ser visto informalmente como um limite desse argumento ou verificado formalmente quando todas as doações-papai teóricas da medida estão em vigor.

Para desenrolar o aplicativo, , e . Tudo se alinha exatamente. $Z_1 = Y$ $Z_2 = X$ $g(x, y) = (y - f(x))^2$

A afirmação (2.12) pede que consideremos minimizar

E_{X} E_{Y ∣ X} (Y - f (X))^{2}

$E_X E_{Y \mid X} (Y - f(X))^2$

onde somos livres para escolher como desejamos. Mais uma vez, focando no caso discreto e caindo no meio do desenrolamento acima, vemos que estamos minimizando $f$

\sum_{x} (\sum_{y} (y - f (x))^{2} P r (Y = y ∣ X = x)) P r (X = x)

$\sum_{x} \left( \sum_{y} (y - f(x))^2 Pr(Y = y \mid X = x) \right) Pr(X = x)$

Tudo dentro dos grandes parênteses é não negativo e você pode minimizar uma soma de quantidades não negativas, minimizando as somas individualmente. No contexto, isso significa que podemos escolher para minimizar $f$

\sum_{y} (y - f (x))^{2} P r (Y = y ∣ X = x)

$\sum_{y} (y - f(x))^2 Pr(Y = y \mid X = x)$

individualmente para cada valor discreto de . Esse é exatamente o conteúdo do que a ESL está reivindicando, apenas com notação mais sofisticada. $x$

— Matthew Drury
fonte

Acho que algumas partes deste livro são expressas de uma maneira que é difícil de entender, especialmente para aqueles que não têm uma sólida formação em estatística.

Vou tentar simplificar e espero que você possa se livrar da confusão.

Reivindicação 1 (Suavização) $E(X) = E(E(X|Y)),\forall X,Y$

Prova : Observe que E (Y) é uma constante, mas E (Y | X) é uma variável aleatória, dependendo de X.

\begin{aligned} E (E (X | Y)) & = \int E (X | Y = y) f_{Y} (y) d y \\ = \int \int x f_{X | Y} (x | y) d x f_{Y} (y) d y \\ = \int \int x f_{X | Y} (x | y) f_{Y} (y) d x d y \\ = \int \int x f_{X Y} (x, y) d x d y \\ = \int x (\int f_{X Y} (x, y) d y) d x \\ = \int x f_{X} (x) d x = E (X) \end{aligned}

$\begin{align} E(E(X|Y)) &= \displaystyle\int E(X|Y=y) f_Y(y) dy \\ &= \int \int x f_{X|Y} (x|y) dx f_Y(y) dy \\ &= \int \int x f_{X|Y} (x|y) f_Y(y) dx dy \\ &= \int \int x f_{XY} (x,y) dx dy \\ &= \int x \left(\int f_{XY} (x,y) dy \right) dx \\ &= \int x f_X(x) dx = E(X) \end{align}$

Reivindicação 2 : $E(Y - f(X))^2 \geq E(Y - E(Y|X))^2, \forall f$

Prova :

\begin{aligned} E ((Y - f (X))^{2} | X) & = E (([Y - E (Y | X)] + [E (Y | X) - f (X)])^{2} | X) \\ = E ((Y - E (Y | X))^{2} | X) + E ((E (Y | X) - f (X))^{2} | X) + \\ 2 E ((Y - E (Y | X)) (E (Y | X) - f (X)) | X) \\ = E ((Y - E (Y | X))^{2} | X) + E ((E (Y | X) - f (X))^{2} | X) + \\ 2 (E (Y | X) - f (X)) E (Y - E (Y | X)) | X) \\ (since E (Y | X) - f (X) is constant given X) \\ = E ((Y - E (Y | X))^{2} | X) + E ((E (Y | X) - f (X))^{2} | X) ( use Claim 1) \\ \geq E ((Y - E (Y | X))^{2} | X) \end{aligned}

$\begin{align} E((Y - f(X))^2 | X) &= E( ([Y - E(Y|X)] + [E(Y|X) - f(X)])^2|X) \\ &= E((Y-E(Y|X))^2 |X) + E((E(Y|X) - f(X))^2|X) + \\ &\qquad 2 E((Y - E(Y|X))(E(Y|X) - f(X))|X) \\ &=E((Y-E(Y|X))^2 |X) + E((E(Y|X) - f(X))^2|X) + \\ &\qquad 2 (E(Y|X) - f(X)) E(Y - E(Y|X))|X) \\[5pt] &( \text{ since } E(Y|X) - f(X) \text{ is constant given } X) \\[5pt] &= E((Y-E(Y|X))^2 |X) + E((E(Y|X) - f(X))^2|X) \text{ ( use Claim 1 }) \\ &\geq E((Y-E(Y|X))^2 |X) \end{align}$

Tomando a expectativa de ambos os lados da equação acima, a Reivindicação 2 (QED)

Portanto, o ideal f é $f(X) = E(Y|X)$

— thanhtang
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