Homocedasticidade condicional vs heterocedasticidade

From Econometrics , by Fumio Hayashi (Chpt 1):

Homoscedasticidade incondicional:

• O segundo momento dos termos de erro E (εᵢ²) é constante nas observações
• A forma funcional E (εᵢ² | xi) é constante nas observações

Homoscedasticidade condicional:

• A restrição de que o segundo momento dos termos de erro E (εᵢ²) é constante nas observações é levantada
  • Assim, o segundo momento condicional E (εᵢ² | xi) pode diferir entre as observações através da possível dependência de xᵢ.

Então, minha pergunta:

Como a homocedasticidade condicional difere da heterocedasticidade?

Meu entendimento é que existe heterocedasticidade quando o segundo momento difere entre as observações (xᵢ).

Começarei citando Hayashi para ajudar qualquer pessoa que queira comentar. Tentei preservar a formatação e os números das equações originais.

Comece a citação da página 126 de Hayashi, seção 2.6:

Homoscedasticidade condicional versus incondicional

A suposição condicional de homicedasticidade é:

Suposição 2.7 (homoskedasticity condicional): Essa suposição implica que o segundo momento incondicional E ( ϵ 2 i ) seja igual a σ 2 pela Lei das Expectativas Totais. Para ser claro sobre a distinção entre homossexualismo incondicional e condicional, considere o exemplo a seguir [Exemplo 2.6 (erros incondicionalmente homosquásticos, mas condicionalmente heteroscedásticos) ...]

$$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$$ $E(\epsilon_i^2)$$\sigma^2$

Fim de cotação.

Algumas equações relevantes das páginas Hayashi 11-14 (Seção 1.1):

$$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$$

A subseção "O modelo de regressão clássica para amostras aleatórias" na página 12 discute as implicações de uma amostra sendo iid. Citando páginas Hayashi 12-13: "A implicação do aspecto distribuição idêntica de uma amostra aleatória é que a distribuição conjunta de não depende i Assim, a. Un condicional segundo momento E ( ε 2 i ) é constante em i (isso é chamado de homocedasticidade incondicional ) e a forma funcional do segundo momento condicional E ( ϵ 2 $(\epsilon_i,\mathbf x_i)$$i$$E(\epsilon_i^2)$$i$ é o mesmo em i . No entanto, a suposição 1.4 - que ovalordo segundo momento condicional é o mesmo em i - não segue. Portanto, a suposição 1.4 permanece restritiva para o caso de uma amostra aleatória; sem ele, o segundo momento condicional E ( ϵ 2 i | x i ) pode diferir entre i através de sua possível dependência de x i . Para enfatizar a distinção, as restrições aos segundos momentos condicionais (1.1.12) e (1.1.17) são chamadas dehomocedasticidade condicional".$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$\mathbf x_i$

[Não há mais citações de Hayashi, apenas o meu entendimento depois deste ponto.]

Suponho que a pergunta original era sobre a discussão acima nas páginas 12-13. Nesse caso, acho que o primeiro item em "Homocedasticidade condicional" não é tecnicamente correto (embora eu entenda o que você quer dizer): Hayashi diz (1.1.17) é "homosquasticidade condicional" e se , então E ( ϵ 2 i ) = E [ E ( ϵ 2 i | x i ) ] = E [ σ 2 ] $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$$\epsilon_i$$\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$ but $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$; Examples 2.6 (page 127) illustrates this. It also perhaps answers the question of the overlap between homo- and heteroskedasticity: it gives an example where there is unconditional homoskedasticity as well as conditional heteroskedasticity.

These are confusing concepts, especially without a lot of experience with conditional expectations/distributions, but hopefully this adds some clarity (and source material for any future discussions).