Algoritmo eficiente para cores de borda quase ótimas de hipergrafos


12

Os problemas de coloração de gráficos já são difíceis o suficiente para a maioria das pessoas . Mesmo assim, terei que ser difícil e perguntar um problema sobre a coloração hipergráfica.

Questão.

Quais algoritmos eficientes existem para encontrar uma coloração de borda aproximadamente ideal para hipergráficos k uniformes?

Detalhes ---

  • Um hipergrafo k-uniforme é aquele em que cada aresta contém exatamente k vértices; o caso usual de um gráfico simples é k = 2. Mais precisamente, eu estou interessado em rotulados hipergrafos k-uniforme, em que dois lados podem realmente têm o mesmo vértice-set; mas vou me contentar com algo em hipergrafos k-regulares com bordas que se cruzam em não mais que k-1 vértices.

  • Uma coloração de arestas de hipergrafos é aquela em que arestas da mesma cor não se cruzam, como no caso dos gráficos. O índice cromático χ '(H) é o número mínimo de cores necessárias, como de costume.

  • Gostaria de obter resultados em algoritmos de tempo polinomial determinístico ou aleatório.

  • Estou procurando o fator de aproximação / intervalo aditivo mais conhecido entre o que pode ser encontrado com eficiência e o índice cromático real χ '(H) --- ou, nesse caso, o melhor resultado possível de ser alcançado em termos de parâmetros como o grau máximo do vértice Δ (H), o tamanho do hipergrafo, etc.

Edit: solicitado pelas observações de Suresh sobre os duais do hipergrafo abaixo, devo observar que esse problema é equivalente ao problema de encontrar uma forte coloração de vértice de um hipergrafo k-regular : ou seja, onde cada vértice pertence a k arestas distintas [mas as arestas agora podem conter números diferentes de vértices], e queremos uma coloração de vértice de forma que quaisquer dois vértices adjacentes tenham cores diferentes. Essa reformulação também parece não ter uma solução óbvia.

Observações

No caso de gráficos, o Teorema de Vizing não apenas garante que o número cromático da borda de um gráfico G seja Δ (G) ou Δ (G) +1, provas padrão também fornecem um algoritmo eficiente para encontrar um Δ (G ) + 1 coloração na borda. Esse resultado seria bom o suficiente para mim se eu estivesse interessado no caso k = 2; no entanto, estou especificamente interessado em k> 2 arbitrário.

Parece não haver resultados conhecidos sobre os limites da coloração da borda do hipergrafo, a menos que você adicione restrições, como todas as arestas que se cruzam no máximo t vértices. Mas não preciso de limites para o χ '(H); apenas um algoritmo que encontrará uma coloração de borda "suficientemente boa". [Eu também não quero impor restrições aos meus hipergrafos, exceto por ser k uniforme, e talvez limitar o grau máximo de vértice, por exemplo , Δ (H) ≤ f (k) para alguns f ∈ ω (1) .]

[ Adendo. Agora eu fiz uma pergunta relacionada no MathOverlow sobre limites no número cromático, construtivo ou não.]


Parece que esse problema às vezes é chamado de embalagem do hipergrafo . A página a seguir ajuda? pt.wikipedia.org/wiki/Packing_in_a_hypergraph
Tsuyoshi Ito

Receio que o artigo da Wikipedia que vinculei no comentário anterior possa não ser um bom material para aprender sobre o assunto; a terminologia é confusa, a mesma noção é aparentemente definida mais de uma vez, e assim por diante. Espero que alguém conheça um material melhor.
Tsuyoshi Ito

O autor da questão postou recentemente uma pergunta intimamente relacionada no MathOverflow: mathoverflow.net/questions/38853/… . @Niel de Beaudrap: da próxima vez que você repassar uma pergunta em outro local, adicione links nas duas direções.
Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Obrigado pelo seu interesse contínuo no meu problema. Não adicionei o link daqui ao MO porque o interesse pelo tópico parecia ter morrido aqui, sem muito progresso em relação ao que consideraria uma resposta satisfatória. (De qualquer forma, vinculei a essa questão na pergunta MO; e a prioridade pode ser facilmente estabelecida observando quando ela foi solicitada.) —— Não me é óbvio por que você acha importante que eu faça a ligação reciprocamente antes existem respostas para a pergunta no MO para informar possíveis respostas aqui; mas desde que você pergunta, eu o farei.
Niel de Beaudrap

ΔΘ(Δr)

Respostas:


3

A resposta abaixo quebra sua condição de que você não deseja que restrições sérias sejam impostas ao seu hipergrafo, mas isso pode ser interessante, mesmo que apenas como um trabalho relacionado.

rr

Houve alguns trabalhos recentes sobre esses problemas de "coloração colorida" para espaços geométricos, motivados em parte por problemas nas redes de sensores. Uma pergunta padrão que é feita é:

kScS(k)cS(k)rSmin(|r|,k)

Portanto, é a quantidade que você está procurando (onde é a cardinalidade máxima de um intervalo).cS(Δ)Δ

Uma questão relacionada é determinar , em que é o espaço de alcance duplo (na verdade, o hipergrafo original). Um exemplo do tipo de resultado obtido é o seguinte :cS~(k)S~

Para sendo o espaço de semiplanos em ,S2cS(k)3k2

Uma boa referência para este corpo de trabalho é o artigo DCG de Aloupsis et al. , E as referências nele contidas.

Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.