Partição 3-Clique para gráficos de diâmetro fixo

O problema da partição de 3 cliques é o problema de determinar se os vértices de um gráfico, digamos , podem ser particionados em 3 grupos. Esse problema é difícil de NP por uma simples redução do problema de 3 cores. Não é difícil ver que a resposta para esse problema é fácil quando ou . O problema permanece NP-difícil quando por uma simples redução de si mesmo (dado um gráfico , adicione um vértice e conecte-o a todos os outros vértices).$G$$\textrm{diam}(G) = 1$$\textrm{diam}(G) > 5$$\textrm{diam}(G) = 2$$G$

Qual é a complexidade desse problema para gráficos com para ?$\textrm{diam}(G) = p$$3\le p \le 5$

O problema parece estar em .$P$

Pegue dois vértices , com a distância exatamente 3 (esse par deve existir quando ). Eles devem ter cores diferentes (usarei R, G, B para denotar 3 cores e os vértices na mesma clique são coloridos da mesma cor). O Wlog supõe que tenha a cor Vermelha e tenha a cor Verde.$u$$v$$p\ge 3$$u$$v$

Agora o restante dos vértices são particionados em 3 conjuntos: (vizinhos de ), e . O terceiro conjunto deve ser colorido em azul, porque eles são adjacentes a nem . Os vizinhos de devem ser coloridos em vermelho ou azul porque não estão adjacentes a , da mesma forma os vizinhos de devem ser coloridos em verde ou azul. Cada vértice agora tem no máximo duas opções; portanto, o problema se torna uma instância 2-SAT que podemos resolver em tempo polinomial.$\Gamma(u)$$u$$\Gamma(v)$$V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$$u$$v$$u$$v$$v$