Dureza da computação de etiquetas Weisfeiler-Lehman

O algoritmo Weisfeiler-Lehman (WL) 1-dim é comumente conhecido como rotulagem canônica ou algoritmo de refinamento de cores. Funciona da seguinte maneira:

• A coloração inicial é uniforme, C 0 ( v ) = 1 para todos os vértices v ∈ V ( G ) ∪ V ( H ) .$C_0$$C_0(v) = 1$$v \in V (G) \cup V (H)$
• Na rodada , a cor C i + 1 ( v ) é definida como um par que consiste na cor anterior C i - 1 ( v ) e no conjunto múltiplo de cores para todos os$(i + 1)$$C_{i+1}(v)$$C_{i−1}(v)$$C_{i−1}(u)$$u$ adjacentes a . Por exemplo, sse v e w têm o mesmo grau.$v$$C_1(v) = C_1(w)$$v$$w$
• Para manter a codificação de cores curta, após cada rodada, as cores são renomeadas.

Dado dois gráficos não direcionados e H , se o multiset de cores (também conhecido como rótulos) dos vértices de G for distinto do multiset de cores dos vértices de H , o algoritmo relata que os gráficos não são isomórficos; caso contrário, declara-os isomórficos.$G$$H$$G$$H$

É sabido que o WL 1-dim funciona corretamente para todas as árvores e requer apenas rodadas .$O({\log}n)$

Minha pergunta é :

Qual é a dureza de calcular etiquetas WL 1-dim de uma árvore? Um limite inferior é melhor que o espaço de registro conhecido?

O problema de decidir se dois gráficos têm rótulos equivalentes e, portanto, também o problema de calcular o rótulo canônico são PTIME completos. Vejo

M. Grohe, A equivalência na lógica de variáveis ​​finitas é completa por tempo polinomial. Combinatorica 19: 507-532, 1999. (Versão da conferência em FOCS'96.)

Observe que a equivalência de refinamento de cor corresponde à equivalência na lógica C ^ 2.

-Martin