Conclusão mínima do gráfico do ciclo ímpar sem corda: é NP-difícil?

O seguinte problema interessante surgiu recentemente em minha pesquisa:

INSTÂNCIA: Gráfico . $G(V, E)$

SOLUÇÃO: Uma conclusão do ciclo ímpar sem corda, definida como um superconjunto do conjunto de arestas modo que o gráfico completo tenha a propriedade de que toda aresta em esteja contida em um ciclo ímpar sem corda. $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

MEDIDA: O tamanho da conclusão, ou seja,. $|E' - E|$

Até agora, pudemos provar que uma versão modificada desse problema é NP-completa, onde, em vez de exigir que "todas as arestas em estejam contidas em um ciclo ímpar sem corda", exigimos a propriedade mais forte de que "todas as arestas estão contidas em um triângulo (ciclo de comprimento 3) ". (Observe que isso não é equivalente ao problema MÍNIMO DE COMPLETA DE GRAFIA DE CORES .) $G'$

O primeiro é facilmente visto como uma generalização do último, mas até agora todos os meus esforços para provar que falharam. Alguém poderia inventar um ponteiro / referência / etc.?

— Gabor Retvari
fonte

o problema parece altamente relacionado a gráficos perfeitos que são perfeitos se houver um furo ímpar (anti-) (ciclo ímpar sem corda com pelo menos o comprimento 5) [mais na wikipedia]. portanto, sugira que talvez você tente reformular a pergunta em termos de uma pergunta em gráficos perfeitos.

— vzn

@vzn: Não tenho certeza se esse forte teorema poderia ajudar aqui.

— domotorp 29/03

Podemos decidir em P se cada extremidade de G está contida em um ciclo ímpar sem corda? Eu acho que isso é possível, mas não vejo como.

— Domotorp 29/03/12

Bem, nós temos dois problemas agora. Facilmente, teríamos uma decisão em P se pudéssemos decidir para cada aresta se está em um ciclo ímpar sem corda. Encontrei uma referência , afirmando que as perguntas "Um gráfico contém um ciclo ímpar induzido de comprimento maior que três, passando por um vértice prescrito?" e "Um gráfico contém um caminho ímpar induzido entre dois vértices prescritos?" são NP-completos, mas estes não resolvem totalmente o nosso caso. Pode acontecer que o problema original não esteja no NP, mas ainda seja difícil para o NP.

— Gabor Retvari 29/03/12

você pode indicar qual seção do seu artigo você define o problema acima e qual é a quantidade especificada no artigo que você está consultando. para ("versão modificada comprovada NP concluída")

— vzn

Provamos que o problema é NP-difícil, mesmo em sua forma de decisão, ou seja, '' O gráfico de entrada já está completo no ciclo ímpar sem corda? '', Reduzindo-se o seguinte problema: $G$

Problema P : Dado um gráfico e uma aresta , existe um ciclo ímpar sem corda de comprimento maior que 3 passando por ? $G$ $e\in E(G)$ $e$

Esse problema é conhecido por ser NP-difícil por redução de '' detectar ciclos pares sem corda que passam por um determinado nó '' na referência fornecida em um de seus comentários, conforme indicado no parágrafo anterior à seção 3, deixando e : $p=0$ $q=2$

Como um aparte, deixe e ser arbitrários inteiros fixos. Os seguintes problemas estão completos com NP: Um gráfico contém um ciclo induzido através de um vértice prescrito , de comprimento (mod )? ... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

(Pode haver uma redução de Karp, mas se permitirmos uma redução de Cook, considere a seguinte redução: Substituindo o nó grau d em um subgrafo completo de tamanho d com arestas de saída apropriadas. Em seguida, para cada aresta no gráfico completo, podemos consultar o oráculo que resolve o problema P. Observe que um ciclo par sem corda que passa pelo nó especificado corresponde a um ciclo ímpar sem corda de comprimento maior que 3 passando por uma das arestas no gráfico completo.)

Agora, a principal redução. Dada uma instância do Problema P, primeiro detectamos se existem triângulos passando por ; Nesse caso, exclua todos os nós que formam um triângulo com . Observe que excluir nós que formam um triângulo com não removerá nenhum ciclo ímpar sem corda que passa por (pela propriedade sem corda). $e$ $e$ $e$ $e$

A seguir, para cada aresta diferente de , adicionamos um nó auxiliar e duas arestas e . Observe que o novo gráfico tem a seguinte propriedade: $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

$G$ tem um ciclo ímpar sem corda de comprimento maior que 3 passando por se e somente se é uma conclusão do ciclo ímpar sem corda. $e$ $G'$

Para a direção somente se, isso pode ser provado considerando diferentes tipos de arestas em . Cada aresta diferente de (incluindo as arestas recém-adicionadas) estará em pelo menos um triângulo (aquele que contém o nó auxiliar); e será em um ciclo estranho sem corda em uma vez que existe um ciclo estranho sem corda passa através em , e o ciclo de não é removido durante o processo de exclusão nó. $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

Para a direção if, como todas as arestas que não sejam devem estar em pelo menos um triângulo, precisamos apenas nos preocupar com a aresta . Existe um ciclo ímpar sem corda passando por em ( é uma conclusão do ciclo ímpar sem corda). O ciclo não pode ter um comprimento de 3 por construção de , e uma vez que o ciclo não pode conter quaisquer nós auxiliares (por propriedade sem corda), que será em gráfico bem. Portanto, a prova está completa. $e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

Tenho problemas em seguir uma das reduções. Na primeira redução, se o nó dado v tiver grau, digamos, 5, depois da redução, ele se tornará K_5, e esse K_5 contém um ciclo de comprimento ímpar, mas não corresponde a um ciclo de comprimento par contendo v. a principal redução, suponha que G = (V, E) onde V = {1,2,3,4,5}, E = {12,23,34,45,15,35} e e = 34. G tem um ciclo de comprimento 5 que passa por e, mas em G ', a borda 34 é uma ponte e não pertence a nenhum ciclo ímpar, se eu entender a definição de sua redução corretamente.

— Tsuyoshi Ito 04/04

@ Tsuyoshi: Entendo o seu ponto. No Problema P, devemos impor que o ciclo ímpar seja sem corda. Portanto, qualquer gráfico completo não contém ciclos de comprimento ímpar sem corda e para qualquer ciclo de comprimento ímpar sem corda que passa por

, não há triângulos passando por

que também usa arestas no ciclo. Vou atualizar a resposta.

e

$e$

e

$e$

— Hsien-Chih Chang # 04/04

@ Hsien-ChihChang 張顯之: E o segundo ponto em relação à redução principal, que se descuidamos "descuidadamente todos os nós que formam um triângulo com

", podemos acabar removendo os ciclos ímpares sem corda válidos de

? E outra pergunta: a referência original prova a completude do NP para "detectar motocicletas ímpares sem corda que passam por um determinado nó", mas você usou o formulário "detectando motocicletas pares sem corda". É o caso em que você silenciosamente provou por si mesmo que o primeiro implica o último (o que parece bastante plausível)?

e

$e$

G^{'}

$G'$

— Gabor Retvari

@ Hsien-ChihChang anyway 之: enfim: desde que a recompensa expire em breve e estarei longe do meu computador, concedo a você o preço agora. Muito obrigado pela sua resposta, isso realmente me ajudou a pensar sobre o problema de novas maneiras. Se você puder voltar mais tarde e limpar os problemas acima, ficaria muito grato.

— Gabor Retvari

@Abor: Para a pergunta 1, excluir nós que formam um triângulo com

não removerá nenhum ciclo sem corda que passa por

(pela propriedade sem corda). Pode destruir alguns outros ciclos sem corda, mas, como exigimos que

seja a conclusão do ciclo ímpar sem corda, todas as arestas que não sejam

(incluindo as arestas recém-adicionadas) estarão pelo menos no triângulo (aquele que contém o nó auxiliar ); e

será em um ciclo estranho sem corda em

sse existe um ciclo estranho sem corda passa através

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— Hsien-Chih Chang #