Um par de ciclos homotópicos separados no dual separa o gráfico?

Seja um gráfico incorporado em uma superfície compacta orientável do gênero modo que a incorporação seja celular. Considere o duplo do gráfico . Sejam e ciclos disjuntos em que são homotópicos entre si e que e$G$$g$$G^*$$C_1$$C_2$$G^*$$E_1$$E_2$ sejam seus conjuntos de arestas correspondentes em respectivamente. É G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) um gráfico desconectado?$G$$G \setminus (E_1 \cup E_2)$

Sim. Deixe-me escrever para a superfície em que G e G ∗ estão incorporados.$\Sigma$$G$$G^*$

Porque os ciclos de e C 2 são homotópicas, eles também estão no mesmo Z 2 classe -homology. Assim, por definição, a diferença simétrica C 1 ⊕ C 2 é o limite da união de algum subconjunto de faces de G ∗ ; chamar essa união de rostos U . (Na verdade, quer U ou o seu complemento Σ ∖ U deve ser um anel, mas isso não é importante.)$C_1$$C_2$$\mathbb{Z}_2$$C_1\oplus C_2$$G^*$$U$$U$$\Sigma\setminus U$

Como e C 2 são disjuntos, a diferença simétrica C 1 ⊕ C 2 é igual à união C 1 ∪ C 2 . Em particular, nós temos C 1 ⊕ C 2 ≠ ∅ , o que implica que tanto L e o seu complemento Σ ∖ L são não-vazia. Em outras palavras, a subsuperfície Σ ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) está desconectada.$C_1$$C_2$$C_1\oplus C_2$$C_1\cup C_2$$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$$U$$\Sigma\setminus U$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$

Qualquer caminho em pode ser visto como um caminho em Σ que evita os vértices de G ∗ e vice-versa (até a homotopia). Assim, o (gráfico) componentes de L ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) correspondem ao bijectively (superfície) componentes de Σ ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) . Concluímos que G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) está desconectado.$G$$\Sigma$$G^*$$G\setminus (E_1\cup E_2)$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$$G\setminus (E_1\cup E_2)$

A suposição de que é orientável nunca é usada.$\Sigma$