Complexidade Parametrizada da Contagem de Bicliques

Em uma pergunta anterior parametrizada algoritmo para encontrar Bicliques , perguntei se não foram rápido parametrizada algoritmos para encontrar um -biclique em uma n grafo vértice e aprendeu que foi aberto se é FPT wrt k . É o mesmo verdade para contar o k × k -bicliques, ou é conhecido que este é # W \ [ 1 \] -Hard wrt k (ou alguma outra noção de dureza)?$k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

Eu sei que a contagem induzido -bicliques são # W \ [ 1 \] -Hard, expandindo uma redução simples para encontrar um biclique induzida na secção 4.5 em tese Serge Gaspers' .$k\times k$$W\[1\]$

Isso deve ser #W [1] -hard por um argumento de interpolação padrão. Aqui está um esboço aproximado.

Primeiro, considere a versão multicolorida do problema da biclique: dado um gráfico cujo conjunto de vértices é particionado nas classes , encontre uma biclique contendo exatamente um vértice de cada conjunto. Ao contrário de Biclique, cujo status do FPT está aberto, esta versão multicolorida é conhecida como W [1] -hard: há uma redução fácil da camarilha. Eu acredito que também deve ser #W [1] -hard.$X_1,\dots, X_{2k}$

$G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$$x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$$x_i$$G'$