Autômatos Büchi com estratégia de aceitação

O problema

Seja um autômato Büchi, reconhecendo um idioma . Nós assumimos que tem uma estratégia de aceitação no seguinte sentido: existe uma função que pode ser usado para corridas piloto de . Formalizamos isso pelas seguintes condições: $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
para todos e , $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
para todos , a execução pilotada por está aceitando, ou seja, a sequência tem um número infinito de elementos em . $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

Para incluir as condições, pode aceitar qualquer palavra de seu idioma sem precisar adivinhar nada sobre o futuro. $A$

Então, sob essas suposições em , é verdade que pode ser determinado apenas removendo transições? Em outras palavras, sempre podemos escolher a próxima transição, dependendo apenas do estado e da letra atuais? Existe alguma referência sobre o assunto? A mesma pergunta pode ser feita nos autômatos co-Büchi e, mais geralmente, nos autômatos de paridade. $A$ $A$

O que é conhecido

Aqui estão alguns resultados parciais.

Primeiro, podemos restringir a escolhas não determinísticas entre estados com o mesmo resíduo. De fato, se é o idioma aceito em , uma estratégia de aceitação não pode escolher vez de em algum momento, se houver . $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

Observe que as escolhas restantes são importantes, portanto, apesar da intuição, isso não é suficiente para se livrar do não-determinismo. Isso ocorre porque é possível permanecer ad infinitum em um bom residual (ou seja, o restante da palavra está no residual), mas rejeita a palavra porque não são vistos infinitamente muitos estados de Büchi. Essa é a principal dificuldade do problema: uma execução infinita pode estar errada, sem cometer nenhum erro fatal em algum momento.

Em segundo lugar, o problema é resolvido se , ou seja, todas as palavras são aceitos por . Nesse caso, podemos ver como um jogo Büchi, em que o jogador I escolhe as letras de entrada e o jogador II escolhe as transições. Em seguida, podemos usar a determinação posicional dos jogos Büchi para extrair uma estratégia posicional para o Jogador II. Esses argumentos ainda funcionam no caso mais geral de autômatos de paridade. A dificuldade desse problema vem do fato de que algumas palavras não estão em e, nesse caso, o da estratégia pode ter algum comportamento. $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

Em terceiro lugar, aqui é uma prova de que sob os pressupostos, a linguagem é na classe de linguagens determinísticas Büchi, testemunhado por um autômato com os estados . Observe que isso implica que não pode ser qualquer linguagem regular, por exemplo, se , nenhuma estratégia corresponda às condições possa existir. $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

Começamos restringindo as transições de acordo com a primeira observação: as únicas escolhas que podemos fazer não afetam a linguagem residual. Só tomamos sucessores com o máximo residual, eles devem existir porque existe . $\sigma$

Em seguida, criamos da seguinte maneira. é o autômato do subconjunto de , mas toda vez que um estado de Büchi aparece no componente, todos os outros estados podem ser removidos do componente e começamos novamente a partir do singleton . Então podemos definir . Podemos verificar que é um autômato Büchi deterministas para . $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ $A'$ $L$

Finalmente, reunindo a segunda e a terceira observação, sempre podemos obter uma estratégia de memória finita , usando uma estratégia posicional para o Jogador II no jogo onde o Jogador I escolhe letras, o Jogador II escolhe transições em e vence se aceitar sempre que aceitar. $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— Denis
fonte

Escreva

para o autômato (determinístico) com as transições removidas. Vamos ser uma palavra em . Então, pelas suas condições é uma corrida de e está aceitando, portanto, . Por outro lado, qualquer que aceita funcionamento de é, em particular, um funcionamento de aceitar , assim .

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— Sylvain

@Sylvain: Quais transições são removidas?

— Dave Clarke

Suponho que você chame

autômato

restrito às transições usadas na estratégia

. O problema é que você não tem nenhuma garantia de que

seja determinístico. Por exemplo, suponha

, então

não é determinístico.

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— Denis

Também estou postando no mathOverflow, com mais detalhes sobre o trabalho anterior aqui: mathoverflow.net/questions/97007/… , está tudo bem?

— Denis

Geralmente, a postagem cruzada não é permitida, a menos que você não tenha recebido uma resposta após um período de tempo suficiente. Dado que existe uma recompensa em aberto sobre esta questão, eu esperaria alguns dias. Você pode excluir a outra postagem e abri-la em alguns dias. (Além disso, a outra postagem deve conectar-se a este.)

— Dave Clarke

Acontece que a resposta é não, alguns contra-exemplos podem ser encontrados neste artigo .

— Denis
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thx para atualização, mas vago! qual time? eles publicaram? planejar para? Como você ouviu? como eles encontraram isso? existe uma razão pela qual eles estavam procurando? isso é uma curiosidade teórica ou está ligada a algum problema ou aplicação maior? etc

— vzn

veja esta resposta para obter mais detalhes: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Denis

-1

Como você apontou, os autômatos Buchi não determinísticos e determinísticos aceitam idiomas diferentes. A mais famosa 'determinação' de um autômato Buchi é dada pelo Safra (procure "construção do Safra" na Web. Aqui está um documento que aparece: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf) . O procedimento é bastante complexo e envolve a transformação do dado autômato Buchi em um autômato Rabin determinístico (tendo 'aceitando' os estados F e 'rejeitando' os estados G: \ sigma possui apenas muitos estados em G). A construção do Safra envolve muito mais do que simplesmente remover transições e / ou construção usual de subconjuntos.

— Sudeep
fonte

Eu sei disso, a pergunta é sobre uma classe especial de autômatos de Büchi, a saber, a que admite estratégias de aceitação

. Eu já mostrei que essa classe tem o mesmo poder que a classe dos autômatos determinísticos de Büchi e descrevi um procedimento simplificado de determinação (na seção "o que é conhecido"). A conjectura é que existe um procedimento de determinação muito mais simples para essa classe, que consiste apenas em remover algumas transições.

σ

$\sigma$

— Denis