Variação na discrepância envolvendo gráficos aleatórios

Suponha que tenhamos um gráfico em $n$ nós. Gostaríamos de atribuir a cada nó um $+1$ ou um $−1$ . Chame isso de configuração $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ . O número de $+1$ s que devemos atribuir é exatamente $s$ (portanto, o número de $−1$ s é $n−s$ .) Dada uma configuração $\sigma$ , examinamos cada nó $i$ e somamos os valores atribuídos a seus vizinhos, chame isso $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) := \sum_{i = 1}^{n} 1 {ξ_{i} (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$

σ

$\sigma$

N (σ)

$N(\sigma)$

(max N) / n

$(\max N)/n$

s / n

$s/n$ . Gostaria de saber se esse problema parece familiar para alguém ou se pode ser reduzido a algum problema conhecido na teoria dos grafos. Se ajudar, pode-se supor que o gráfico seja aleatório do tipo Erdős-Renyi (digamos, G (n, p) com probabilidade de aresta

p (\log n) / n

$p ~ (\log n)/n$ , ou seja, grau médio crescendo como

\log n

$\log n$ ). O instrest principal está no caso em que

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$ .

graph-theory co.combinatorics optimization

— passerby51
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Mudei o título, porque o que você está perguntando está relacionado a problemas de discrepância nos espaços de intervalo. Não é no entanto relacionada a discrepância nos gráficos (que é mais sobre desvios densidade borda)

— Suresh Venkat

limite simples: pegue aleatoriamente; , onde é o grau de vértice e é uma constante. Então, . Se e o gráfico for regular, então existe tal que .

σ

$\sigma$

Pr [ξ_{i} (σ) < 0] \leq \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$

δ_{i}

$\delta_i$

i

$i$

C

$C$

E [N (σ)] \geq \sum_{i} 1 - \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$

s = 3 n / 4

$s = 3n/4$

(16 / C) \log n

$(16/C)\log n$

σ

$\sigma$

N (σ) \geq n - O (1)

$N(\sigma) \geq n - O(1)$

— Sasho Nikolov

@ Suresh: Obrigado. É disso que eu gosto em perguntar aos cientistas da computação: você aprende algo novo! Então, onde é um bom lugar para aprender sobre problemas de discrepância no espaço de alcance? (Talvez um papel curto concisa?)

— passerby51

@ Sasho: Obrigado. Por alguma razão, não consigo ver as equações corretamente (elas colidiram com o texto ao redor). Tentarei ler e retornar a você. Mas devo mencionar que o regime interessante para mim é e o problema parece ficar mais difícil à medida que aproxima de . (Isso se deve à consideração de simetria no problema original de onde isso veio.) Eu não acho que olhar para um aleatório faria isso por .

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

s / n

$s/n$

1 / 2

$1/2$

σ

$\sigma$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

— Passerby51

O palpite / esperança é que para dizer G (n, p) com ou . Acabei de perceber o erro de digitação no meu post original sobre a . Me desculpe por isso. O grau médio está crescendo como não .

(max N) / n = o (1)

$(\max N)/n = o(1)$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n) / n$

p (\log n)^{1 + ϵ} / n

$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$

p

$p$

\log n

$\log n$

p

$p$

— Passerby51 14/05

Respostas:

Você pode abordar isso com um cálculo do "método do segundo momento", semelhante ao que eu usei em Um limiar agudo para um problema de satisfação de restrição aleatória , Discrete Mathematics 285 / 1-3 (2004), 301-305.

Quando o grau médio cresce como um número constante suficientemente grande , essa abordagem costuma ser suficiente para encontrar com precisão o limiar de satisfação. Também poderia mostrar a fração de cláusulas que podem ser satisfeitas em um caso insatisfatório, embora eu não tenha investigado isso. $\log n$

Para tornar seu problema mais parecido com o meu geral, você pode visualizá-lo como um "MAX-AT-LEAST-MEIO-SAT" com uma estrutura gráfica especial subjacente às cláusulas da fórmula CNF. Não acho que essa estrutura especial ajude na pior das hipóteses, no entanto, e como o tamanho da sua cláusula não é uniforme e o conjunto de atribuições "ruins" é crescente, você terá que passar pelo cálculo e verificar se ainda funciona.

— Abraham D Flaxman
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olhando para isso como um CSP parece de fato um ajuste melhor do que olhar para isso como um problema discrepância

— Sasho Nikolov

Obrigado. Isso parece muito interessante. Vou dar uma olhada.

— passerby51

Deixe-me elaborar meu comentário. Primeiro, isso é semelhante à discrepância, mas é claro que é diferente de várias maneiras. Dado um sistema de conjuntos , a discrepância do sistema é . Vamos denotar. Sua definição difere na medida em que você deseja saber quantos conjuntos são positivos e a discrepância pergunta quão grande é em magnitude no pior caso. Para uma introdução rápida, talvez minhas anotações de escriba possam ajudar. Chazelle tem um bom livro que entra em muitos detalhes. $m$ $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ $\sigma(S_j)$ $\sigma(S_j)$

Para um limite inferior probabilístico fácil quando , como no meu comentário, dado um gráfico com sequência de graus , você pode escolher uniformemente aleatoriamente de todas as seqüências com (os não são independentes, mas também deve ser possível provar um Chernoff vinculado neste caso). Temos , por um limite de Chernoff, para alguma constante . Então . Então existe algum $s > n/2$ $G = ([n], E)$ $\delta_1, \ldots, \delta_n$ $\sigma$ $s$ $1$ $\sigma_i$ $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ $C$ $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ $\sigma$ que alcança esse limite.

EDIT: Parece que você está interessado no caso . Vamos escolher aleatoriamente da mesma maneira que no parágrafo anterior. Usando uma versão do teorema do limite central para amostragem sem substituição ( é uma amostra do tamanho sem substituição dos vértices do gráfico), você deve poder mostrar que se comporta como um gaussiano com média e variação sobre , então para alguns C e um parâmetro de erro do teorema do limite central. Deveríamos ter $s < n/2$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ $\xi_i(\sigma)$ $\delta_i (2s/n - 1)$ $\delta_i$ $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ $\eta(n)$ $n\eta(n) = o(n)$ , então você pode . $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

Isenções de responsabilidade: isso só é significativo se for constante / pequeno ou estiver muito próximo de . Além disso, os cálculos são um pouco heurísticos e não são feitos com muito cuidado. $\delta_i$ $s/n$ $n/2$

— Sasho Nikolov
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Obrigado pelos bons links e pela discussão. Gosto do argumento probabilístico, mas acho que há algo errado com o seu limite. Você pode ver isso, definindo , para o qual devemos ter . Parece que foi isso que deu errado: se você escolher uniformemente aleatoriamente no conjunto especificado no problema, cada prob. de ser e prob. de de ser . Portanto, que é negativo para ...

s = 0

$s = 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0] = 1

$Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$

σ

$\sigma$

σ_{j}

$\sigma_j$

γ := s / n

$\gamma := s/n$

+ 1

$+1$

1 - γ

$1-\gamma$

- 1

$-1$

E [ξ_{i} (σ)] = (2 γ - 1) δ_{i}

$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$

γ \in (0, 1 / 2)

$\gamma \in (0,1/2)$

— passerby51

O não será independente e, estritamente falando, não podemos usar a desigualdade de Hoeffding. Mas vamos ignorar esses pequenos detalhes e assumi-los iid. Então, o limite seria que vale para . Não podemos definir para obter .

{σ_{j}}

$\{\sigma_j\}$

P r [\frac{1}{δ_{i}} ξ_{i} (σ) < - t + 2 γ - 1) \leq \exp (- δ_{i} t^{2} / 2)

$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$

t \geq 0

$t \ge 0$

t = 2 γ - 1 < 0

$t = 2\gamma - 1 < 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0]

$Pr[\xi_i(\sigma) <0]$

— passerby51

desculpe, eu deveria ter especificado isso: a suposição aqui era que . caso contrário, isso não faz sentido e você precisa de algo mais forte como o Berry-Esseen. eu acho que o pode ser assumido como sendo essencialmente independente

s > n / 2

$s > n/2$

σ_{j}

$\sigma_j$

— Sasho Nikolov

@ passerby51 adicionou um esboço de como você pode tentar usar uma versão quantitativa do teorema do limite central para estender o limite probabilístico para .

s / n < 1 / 2

$s/n < 1/2$

— Sasho Nikolov 15/05