Isomorfismo imperfeito do subgrafo

Considere o seguinte problema: Dado um gráfico de consulta $G = (V, E)$ e um gráfico de referência $G' = (V', E')$ , queremos encontrar o mapeamento injetivo $f : V \rightarrow V'$ que minimiza o número de arestas $(v_1, v_2) \in E$ tal que . Essa é uma generalização doproblema de isomorfismodosubgráfico,em que permitimos que os subgráficos sejam isomórficos até algumas arestas ausentes e queremos encontrar uma maneira de minimizar o número de arestas ausentes. $(f(v_1), f(v_2)) \notin E'$

Eu também estaria interessado na versão ponderada desse problema, onde os pares de vértices carregam um peso (que deve ser zero se , e também para , e desejamos minimizar $(v_1, v_2) \in V^2$ $w(v_1, v_2)$ $(v_1, v_2) \notin E)$ $G'$ (o existe para penalizar apenas pesos do gráfico de consulta sendo maiores que os do gráfico de referência). $\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - w(f(v_1), f(v_2))))$ $\max$

Minha pergunta é: esse problema já foi estudado? Tem um nome conhecido? Existem algoritmos de aproximação eficientes conhecidos?

A motivação desse problema (além do fato de parecer uma generalização natural do problema de isomorfismo do subgráfico) é que é uma boa maneira de fazer um plano de tabela para uma festa: o gráfico de consulta é o gráfico de convidados com pesos de borda representando a extensão em que duas pessoas desejam interagir, o gráfico de referência possui os assentos da mesa como vértices e pesos das arestas, indicando até que ponto a comunicação é possível; a solução do problema é um mapeamento de pessoas para assentos da mesa que respeite a estrutura social o máximo possível.

— a3nm
fonte

Por que você precisa de "induzido" no título?

— Yota Otachi

@Yota Otachi: Porque eu errei. Obrigado!

— a3nm 30/05

Seu problema é o Máximo problema de subgrafo comum de aresta (Max CES) definido da seguinte forma: dados dois gráficos e , encontre um gráfico com o número máximo de arestas isomórficas para um subgrafo de e para um subgrafo de . $G$ $G'$ $H$ $G$ $G'$

Prova : Você está encontrando um subgrafo de isomórfico em um subgrafo de , onde é minimizado. Desde é um invariante de , é minimizado se e somente se é maximizado. Claramente, é isomórfico para um subgrafo de e para um subgrafo de $H$ $G$ $G'$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{G}|$ $G$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{H}|$ $H$ $G$ . QED $G'$

Aproximabilidade. Na tese de doutorado de Kann, encontrei a descrição "não conhecida por ser aproximada em uma constante" [3] (p. 115). Em artigo recente de Bahiense et al. [1], é mencionado que se e não precisa ser igual, o problema se torna difícil para o APX. Mas a citação para este resultado é uma comunicação privada não publicada [2]. $|V_{G}|$ $|V_{G'}|$

L. Bahiense, G. Manic, B. Piva, CC de Souza. O problema máximo do subgráfico da aresta comum: uma investigação poliédrica. Matemática Aplicada Discreta, para aparecer. doi: 10.1016 / j.dam.2012.01.026
MM Halldorsson, Comunicação pessoal, manuscrito não publicado, 1994.
V. Kann. Sobre a aproximabilidade de problemas de otimização NP-complete. Ph.D. Tese, relatório da NADA TRITA-NA-9206, 1992. http://www.nada.kth.se/~viggo/papers/phdthesis.pdf

— Yota Otachi
fonte

Parece que isso é realmente equivalente ao meu problema. Muito obrigado! Você está ciente dos resultados de uma versão ponderada do Max CES?

— a3nm

Não faço ideia da versão ponderada. Eu acho que

deve ser

, certo?

max_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\max_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

\sum_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\sum_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

— usar o seguinte código

Sim, a soma é mais natural se quisermos generalizar o caso não ponderado, embora eu ache que possa fazer sentido minimizar a soma dos quadrados ou qualquer função da diferença de peso.

— a3nm

Obrigado pela edição. Concordo que é natural usar a soma das diferenças de peso (ou qualquer outra função) como penalidade.

— Yota Otachi