Deixe que e Y ser conjuntos, e B ser uma partição de X x Y . Gostaria de provar que não existe uma distribuição de D ao longo X x Y cuja marginal é uniforme ao longo de X , e de tal modo que a distribuição ao longo B induzida por D tem grande entropia (o último distribuição é definida através da atribuição de cada B ∈ B a probabilidade total massa dos elementos de B em D ). Podemos usar a seguinte condição:
Considere o gráfico bipartido cujos lados são X e B , de modo que para cada ( x , y ) ∈ B exista uma aresta ( x , B ) em G (possíveis arestas múltiplas). Então, todo conjunto de xs de tamanho pelo menos 3tem pelo menos1vizinhos em G.
Eu apreciaria se alguém pudesse me indicar um teorema relevante. Esta questão pode ser vista em um sentido como uma generalização do teorema de Hall, onde a condição acima é uma condição de relaxamento de Hall e, em vez de obter uma correspondência perfeita, obtemos um conjunto de arestas cujo subgráfico correspondente é aproximadamente regular.
Antecedentes : A motivação para essas perguntas vem da complexidade da comunicação. No cenário da complexidade da comunicação, dois players, Alice e Bob, obtêm entradas e y , respectivamente, e interagem para calcular alguma função f ( x , y ) . Aqui, cada conjunto B ∈ B consiste em pares ( x , y ) que produzem a mesma transcrição de comunicação entre Alice e Bob, e eu gostaria de provar que, sob alguma condição, é possível encontrar uma distribuição sobre X × Y de modo que Alice receba uma entrada uniformemente distribuída e de modo que a entropia da transcrição sob a distribuição seja grande.