Extensionalidade de modelos de cálculo lambda

Estou traduzindo um livro sobre LISP e, naturalmente, ele toca alguns elementos do -calculus. Portanto, uma noção de extensionalidade é mencionada ao lado de alguns modelos de -calculus, a saber: e (sim, com o infinito no topo). E é dito que é extensional, enquanto não é. $\lambda$ $\lambda$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$

Mas ... eu estava olhando o Cálculo Lambda de Barendregt , It's Syntax and Semantics e (esperançosamente, corretamente), li exatamente o oposto: não é extensional, é. $\mathcal{P}_\omega$ $D_\infty$

Alguém sabe sobre esse modelo estranho ? Poderia ser exatamente o mesmo modelo que , mas erroneamente escrito? Estou certo sobre a extensionalidade dos modelos? $D^\infty$ $D_\infty$

Obrigado.

— Chris
fonte

Você se importaria de fornecer contexto para o livro LISP? Possui referências para os resultados ou modelos a que se refere?

— Cody

Sim, é o LISP de Christian Queinnec em pedaços pequenos , p. 153. O trecho com a menção: [...] Desde então, as propriedades foram estendidas de várias maneiras diferentes, produzindo vários modelos diferentes: ou em [Sco76, Sto77]. Estranhamente, é extensional porque duas funções que calculam a mesma coisa em todos os pontos são iguais, enquanto não é extensional. Sco76 [...] significa Data Types de Dana Scotts como Malhas . Sto77 significa Semântica Denotacional de Joseph Stoys : A Abordagem Scott-Stachey da Teoria da Linguagem de Programação .

D^{\infty}

$D^\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

P_{ω}

$P_\omega$

D^{\infty}

$D^\infty$

— Chris

Obrigado! Nesse caso, é provável que tenha havido um erro de digitação, que represente e que não seja extensional.

D^{\infty}

$D^\infty$

D_{\infty}

$D_\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

— Cody

Presumo que por extensionalidade você queira dizer a lei Se é isso que você quer dizer, o modelo gráfico não é extensional, enquanto o Dana Scott é (presumo que é o modelo de Dana Scott do - cálculo).

(\forall x . f x = g x) ⟹ f = g .

$(\forall x . f x = g x) \implies f = g.$

P ω

$\mathcal{P}\omega$

D_{\infty}

$D_\infty$

D^{\infty}

$D^\infty$

β ξ η λ

$\beta\xi\eta\lambda$

Para ver isso, lembre-se de que é uma estrutura algébrica com a propriedade de que seu espaço de mapas contínuos é uma retração adequada de , ou seja, existem mapas contínuos e modo que mas . Dado , o aplicativo é interpretado como . Agora pegue $\mathcal{P}\omega$ $[\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$ $\mathcal{P}\omega$

Λ : P ω \to [P ω \to P ω]

$\Lambda : \mathcal{P}\omega \to [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$

Γ : [P ω \to P ω] \to P ω

$\Gamma : [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega] \to \mathcal{P}\omega$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

u, v \in P ω

$u, v \in \mathcal{P}\omega$

u v

$u v$

Λ (u) (v)

$\Lambda(u)(v)$

u

$u$ e tal que mas (elas existem porque ). Então, para todos os , temos ainda . Extensionalidade é violada.

u^{'}

$u'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Λ (u) = Λ (v)

$\Lambda(u) = \Lambda(v)$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

v

$v$

u v = u v^{'}

$u v = u v'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Por outro lado, é isomórfico para , ou seja, existem mapas contínuos e que são inversos um do outro. Portanto, considere qualquer e suponha que para todos . Isso significa que para todos os , portanto e, portanto, . Extensionalidade é estabelecida. $[D_\infty \to D_\infty]$ $D_\infty$

Λ : D_{\infty} \to [D_{\infty} \to D_{\infty}]

$\Lambda : D_\infty \to [D_\infty \to D_\infty]$

Γ : [D_{\infty} \to D_{\infty}] \to D_{\infty}

$\Gamma : [D_\infty \to D_\infty] \to D_\infty$

u, u^{'} \in D_{\infty}

$u, u' \in D_\infty$

u v = u^{'} v

$u v = u' v$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) (v) = Λ (u^{'}) (v)

$\Lambda(u)(v) = \Lambda(u')(v)$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) = Λ (u^{'})

$\Lambda(u) = \Lambda(u')$

u = Γ (Λ (u)) = Γ (Λ (u^{'})) = u^{'}

$u = \Gamma(\Lambda(u)) = \Gamma(\Lambda(u')) = u'$

Vemos que a extensionalidade é uma consequência de . Para que serve a outra equação ? Para isso, devemos lembrar como -abstraction é interpretada: Em palavras, uma expressão com uma variável pode ser interpretada como um mapa que leva para . Em seguida, a -abstraction é interpretado como a imagem dessa função. Agora em obtemos $\Gamma \circ \Lambda = \mathrm{id}$ $\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$ $\lambda$

λ X . u (X) = Γ (v \mapsto u (v))

$\lambda X. u(X) = \Gamma (v \mapsto u(v))$

u (X)

$u(X)$

X

$X$

v

$v$

u (v)

$u(v)$

λ

$\lambda$

λ X . u (X)

$\lambda X . u(X)$

Γ

$\Gamma$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

(λ X . u (X)) w = Λ (Γ (v \mapsto u (v))) (w) = (v \mapsto u (v)) (w) = u (w)

$(\lambda X . u(X)) w = \Lambda (\Gamma (v \mapsto u(v))) (w) = (v \mapsto u(v))(w) = u(w)$ que é apenas redução.

β

$\beta$

— Andrej Bauer
fonte

Ótimo, obrigado. Então, assumirei que há um erro factual no livro. Isso pode ser possível, porque o livro em si é uma tradução do francês, e pode haver algumas travessuras de dupla negação nesse parágrafo do livro original, ou algo assim. Infelizmente, não tenho francês para pelo menos tentar verificar.

— 21712 Chris

O francês é irrelevante, você tem a prova diante de seus olhos.

— Andrej Bauer

λ

$\lambda$