Introdução suave ao isomorfismo de grafos para gráficos de valência limitada

Estou lendo sobre classes de gráficos para o qual Graph Isomorfismo ( ) está em . Um desses casos são gráficos de valência limitada (máximo acima do grau de cada vértice), conforme explicado aqui . Mas achei muito abstrato. Ficaria muito grato se alguém puder me sugerir algumas referências de natureza expositiva. Como não tenho formação sólida em teoria de grupos, prefiro trabalhos que usem a teoria de grupos de maneira suave (minha formação é em CS).$GI$$P$

O algoritmo para isomorfismo de gráfico de grau limitado está tão intimamente ligado à teoria dos grupos (permutação) que duvido que exista uma introdução que use os grupos "apenas suavemente". No entanto, você pode consultar o Ph.D. de Paolo Codenotti tese para um histórico mais completo. Ele não cobre exatamente o isomorfismo de gráfico de grau delimitado, mas cobre as ferramentas necessárias para ele (e o restante da tese trata de hipergrafos de classificação limitada, estendendo o algoritmo mais conhecido para o isomorfismo de gráfico geral ao caso do hipergrafo de classificação limitada) .

Você também pode achar útil o livro Algoritmos Teóricos de Grupos e Isomorfismo de Gráfico , pois cobre a maior parte do contexto necessário (o Capítulo 2, "Conceitos Básicos", tem 47 páginas) e é uma exposição muito mais lenta do que a maioria dos trabalhos publicados sobre o tópico.

Notação: Let ser gráfico, e = ( v 1 , v 2 ) uma aresta de X . O conjunto vértice V k ser o conjunto de vértices de distância k a partir de e , e deixá- H ser a altura de X .$X = (V,E)$$e = (v_1, v_2)$$X$$V_k$$k$$e$$h$$X$

De acordo com a definição de , V = V 0 ∪ V 1 ... V H e V ( h + 1 ) = ∅ . Seja o subconjunto E k das arestas de X ( 0 ≤ k ≤ h ) definido como$V_k$$V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$$V_{(h+1)}= \emptyset$$E_k$$X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

O subgrafo é definido como$X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

Por exemplo, $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

é o grupo de automorfismo do gráfico X em que e é fixo. Se B é um grupo gerador de um u t e ( X k ) , que escrever ⟨ B ⟩ = Um u t e ( X k ) , por exemplo, é evidente que uma u t e ( X 0 ) = ⟨ ( v 1 , v $Aut_e(X)$$X$$e$$B$$Aut_e(X_k)$$\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$ Onde ( v 1 , v 2 ) é uma permutação de vértices v 1 , v 2 de X .$Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$$(v_1,v_2)$$v_1, v_2$$X$

Princípio A construção de um grupo gerador de automorfismo de é um problema completo de GI (gráfico isomorfismo) [1]. Portanto, se pudermos calcular o conjunto gerador do grupo automorfismo X (que tem valência limitada no tempo polinomial), podemos resolver o GI no tempo polinomial. Então, queremos determinar A u t e ( X ) .$X$$X$$Aut_e(X)$

Técnica:

Vamos construir . Para cada X k , construiremos A u t e ( X ( k )$X_0, X_1..... X_h$$X_k$$Aut_e(X_{(k)})$

Note-se que, uma permutação de pode ser estendido para uma automorphism de um u t e ( X ( k + 1 ) ) .$Aut_e(X_{(k) })$$Aut_e(X_{(k+1)})$

So, generators of $Aut_e(X_{(k+1)})$ can be obtained from generators for $Aut_e(X_{k})$.

To construct generator, structure-type of $E_k$ is manipulated. The structure-type of $E_k$ can be divided into finite classes. For example, in the trivalent case, there are only six type (only five of those cases can actually occur).

We will classify the edges in $E_k$ into types and will group them into families . This helps to create a number of unique labels.

For a fixed valence, the number of labels is small. At this point, we use the concept of setwise-stabilizers to find permutations which acts on particular label. In the process, we find the generator of $Aut_e(X_{(k) })$. Then, we use the generator of$Aut_e(X_{(k) })$ to find the generator of $Aut_e(X_{(k+1) })$, as stated earlier. Proceeding in this manner, we obtain, $Aut_e(X)$ .