É possível decidir a equivalência

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Eu sei que é impossível decidir equivalência para o cálculo lambda sem tipo. Citando Barendregt, HP O cálculo Lambda: sua sintaxe e semântica. Holanda do Norte, Amsterdã (1984). : $\beta$

Se A e B são disjuntos, conjuntos não vazios de termos lambda que são fechados em igualdade, então A e B são recursivamente inseparáveis. Daqui resulta que, se A é um conjunto não trivial de termos lambda fechado em igualdade, então A não é recursivo. Portanto, não podemos decidir o problema "M = x?" para qualquer M. em particular. Da mesma forma, o Lambda não possui modelos recursivos.

Se temos um sistema de normalização, como o Sistema F, podemos decidir equivalência "externa", reduzindo os dois termos fornecidos e comparando se suas formas normais são iguais ou não. No entanto, podemos fazê-lo "de dentro"? Existe um combinador System-F tal que, para dois combinadores e , tenhamos se e tiverem a mesma forma normal e ? Ou isso pode ser feito pelo menos para alguns ? Para construir um combinador forma que seja verdadeiro se $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ $E_M N$ $N\equiv_\beta M$ ? Se não, por que?

— Petr Pudlák
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Não, não é possível. Considere os dois habitantes a seguir do tipo . $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} M = λ f . f \\ N = λ f . λ a . f a \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

Essas são formas normais distintas , mas não podem ser distinguidas por um termo lambda, uma vez que é uma expansão de , e a expansão preserva a equivalência observacional em um cálculo lambda de tipo puro. $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

Cody perguntou o que acontece se modificarmos também pela equivalência . A resposta ainda é negativa, devido à parametridade. Considere os dois termos a seguir no tipo $\eta$ : $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} M & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [\forall α . α \to α] (Λ β . λ y : β . y) [α] x \\ N & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [α] x \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

Eles são distintos na forma normal, longa, mas são observacionalmente equivalentes. De fato, todas as funções deste tipo são equivalentes, desde $\beta$ $\eta$ é a codificação do tipo de unidade e, portanto, todas as funções do tipo $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ deve ser extensionalmente equivalente. $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— Neel Krishnaswami
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Ok, mesma pergunta com

-equivalence :)

β, η

$\beta,\eta$

— Cody

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Outra resposta possível para um perfeitamente correta de Neel: Suponha que há é um combinator , bem digitado no sistema de F tal que a condição acima detém. O tipo de é: $E$ $E$

E : \forall α . α \to α \to b o o l

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

Acontece que existe um teorema de graça que expressa que esse termo é necessariamente constante :

\forall T, t, u, t^{'}, u^{'} : T, E T t u = E T t^{'} u^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

$E$

— cody
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