O significado da complexidade do estado em autômatos e linguagens regulares?

Estou lendo " Concatenação de idiomas regulares e complexidade descritiva ", de Galina Jiraskova, 2009, sobre a complexidade do estado resultante da concatenação de dois idiomas regulares (de Galina Jiraskova), mas não consigo entender quais seriam as implicações práticas da complexidade do estado. . O primeiro pensamento trivial que me ocorreu foi que uma complexidade mais alta exigiria mais tempo e espaço da máquina. Isso está correto? Também existem outros lugares onde a complexidade do estado é relevante e significativa?

Edit: A complexidade do estado de uma linguagem regular é o menor número de estados em qualquer autômato finito determinístico (dfa) que aceita a linguagem. A complexidade do estado não determinístico de uma linguagem regular é definida como o menor número de estados em qualquer autômato finito não determinístico (nfa) para a linguagem.

A complexidade do estado é realmente uma descrição concisa de um objeto (neste caso, uma linguagem comum), não uma complexidade computacional. O tópico geral é chamado de "complexidade descritiva" na literatura e se inspira, em parte, no artigo clássico de 1971 de Meyer e Fischer, intitulado "Economia de expressão por autômatos, gramáticas e sistemas formais" (veja http: // people .csail.mit.edu / meyer / economia-de-descrição.pdf ). Essa ainda é uma área ativa, com uma conferência anual (DCFS - Complexidade Descritiva dos Sistemas Formais).

Quanto às aplicações, em qualquer lugar em que seu programa dependa essencialmente de uma máquina de estado finito (por exemplo, analisadores), será bom ter essa máquina de estado finito o menor possível.

Permitam-me adicionar um exemplo concreto à excelente resposta de Jeffrey Shallit.

Suponha que você queira criar um dicionário Scrabble (TM). Você pode pensar em várias maneiras de representar seu dicionário, como lista de palavras, tentativas (árvores de letras) ou autômatos determinísticos. De acordo com [1], minimizar um trie para um dawg [= DFA] produz uma incrível economia de espaço; o número de nós é reduzido de 117.150 para 19.853. O léxico representado como uma lista de palavras brutas leva cerca de 780 Kbytes, enquanto nosso dawg pode ser representado em 175 Kbytes.

Como você pode ver, a complexidade do estado realmente importa nesse caso, especialmente se você deseja escrever um programa eficiente como os autores.

[1] Appel e Jacobson, o Programa de Scrabble mais rápido do mundo , Communications of the ACM 31 , 572-578 (1988).

A prova de que é decidível se uma gramática determinística livre de contexto arbitrária (ou equivalente a um autômato de empilhamento determinístico) possui um autômato de estado finito equivalente que descreve a mesma linguagem é essencialmente uma prova da complexidade do estado de autômatos finitos que descrevem linguagens deterministas sem contexto: o limite do tamanho desses autômatos finitos em termos dos autômatos determinísticos dá limites à duração do procedimento de decisão.

Para obter detalhes, consulte " Regularidade e problemas relacionados a autômatos de empuxo determinísticos ", por Leslie G. Valiant.